2021　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　$0\mathrm{°}\leqq \theta <225\mathrm{°}$とする．$f(\theta )={\sin }^2(\theta +90\mathrm{°})+2\sin \theta -{\displaystyle \frac{3}{2}}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(\theta )$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(2)　$f(\theta )<{\displaystyle \frac{1}{4}}$となるような$\theta$の取りうる値の範囲を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　赤球，黄球，白球，黒球がそれぞれ$4$個ずつ，計$16$個の球が入った袋がある．また，点$\mathrm{P}$を座標平面上の原点に置き，袋から取り出した球に応じて点$\mathrm{P}$を次のルールで移動させる．

赤球：$x$軸の正の方向に$1$  黄球：$x$軸の負の方向に$1$

白球：$y$軸の正の方向に$1$  黒球：$y$軸の負の方向に$1$

袋から同時に$4$個の球を取り出し，色の組合せに従って点$\mathrm{P}$を移動させる．例えば，取り出した球が「赤」「赤」「白」「白」ならば$\mathrm{P}$$(2,2)$となり，「赤」「黄」「白」「白」ならば$\mathrm{P}$$(0,2)$となる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$が存在しうる点の座標は全部でいくつあるか．

(2)　点$\mathrm{P}$が原点にとどまる確率を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$が原点にとどまったとする．このとき，取り出した球に赤球または黄球が少なくとも$1$個含まれている確率を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　実数$x$に対して，$n\leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と表すことにする．すなわち，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．また，$D(x)$を$D(x)=x-[x]$で定め，本問において$D(x)$を$x$の小数部分と呼ぶことにする．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，(1)では最終的な値のみを書きなさい．

(1)　次の(ア)〜(エ)の値を求めなさい．なお，書いた値がどの問題の値なのかが分かるように書くこと．

(2)　次の(ア)〜(エ)の小数部分を求めなさい．

(3)　実数$x\text{，}$$y$について，$[x]=m\text{，}$$[y]=n$とする．次の命題を証明しなさい．

$D(x)+D(y)<1$ならば$[x]+[y]=[x+y]$

(4)　実数$x\text{，}$$y$について，$[x]=m\text{，}$$[y]=n$とする．次の命題を証明しなさい．

$[x]+[y]=[x+y]$ならば$D(x)+D(y)<1$

【３】　$a$を実数とする．関数$f(x)=x^3+{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2-2a^{2}x-27$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めなさい．また，$f^{\prime }(x)=0$となるような$x$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$y=f(x)$が極値をもち，それらがともに$-1\leqq x\leqq 3$の範囲に存在するような$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲を動くとき，$y=f(x)$の極大値を$M\text{，}$極小値を$m$とする．このとき，$M-m$の最大値とそれを与える$a$の値を求めなさい．