2021　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１（選択問題）次の(a)，(b)のいずれか一方を選択して解答せよ．なお，解答用紙の所定の欄にどちらを選択したかを記入すること．

(a)　平面上で，双曲線$x^2-2y^2=18$と直線$y=x+k$が異なる$2$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．

【１】

問１（選択問題）次の(a)，(b)のいずれか一方を選択して解答せよ．なお，解答用紙の所定の欄にどちらを選択したかを記入すること．

(b)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}(\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}}+\sqrt{1+{\displaystyle \frac{2}{n}}}+\sqrt{1+{\displaystyle \frac{3}{n}}}$$+\cdots +\sqrt{1+{\displaystyle \frac{n}{n}}})$

【１】

問２　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n^2+n+1}-n)$

【１】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }(x+1)e^{-3x}\mathit{dx}$

【２】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^3\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}$

【２】

問１　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(3-2i)\text{，}$$\mathrm{C}(1+2i)$を頂点とする三角形が，正三角形であるとき，$\alpha$の値を求めよ．

【２】

問２　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=(n+1)!+n{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で表される数列$\{a_n\}$を考える．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}}}$について，次の問いに答えよ．

問１　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

問２　関数$f(x)$の増減，極値を調べよ．

問３(1)　$x-2=\tan \theta$とおくとき，$x^2-4x+5$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　何$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$かの暗証番号を，以下の方法で別の番号に暗号化することを考える．

(＊)　暗証番号の各桁の数字$m$$\text{（}0\leqq m\leqq 9\text{）}$に対し，$m$の暗号化後の数字$c$を，$m^7$を$10$で割った余りとする．

　たとえば$m=1$のとき，$m^7=1$であるから$c=1$となり，$m=2$のとき，$m^7=128$であるから$c=8$となる．したがって，「$12$」という$2$桁の暗証番号を暗号化すると「$18$」となる．

問１(1)　$2\text{，}$$2^2\text{，}$$2^3\text{，}$$2^4\text{，}$$2^5\text{，}$$2^6$を$10$で割った余りをそれぞれ求めよ．

(2)　$2^{21}$を$10$で割った余りを求めよ．

問２　$a_1\text{，}$$a_2$を整数とするとき，$a_1$を$10$で割った余りを$r_1\text{，}$$a_2$を$10$で割った余りを$r_2$とすると，「$a_1$と$a_2$の積を$10$で割った余り」は「$r_1$と$r_2$の積を$10$で割った余り」に等しくなることを示せ．

問３　整数$a$に対して，「$a^5$を$10$で割った余り」は「$a$を$10$で割った余り」に等しくなることを示せ．

問４$\text{「}267\text{」}$という暗証番号を，上の方法(＊)で暗号化せよ．さらに，暗号化した番号の各桁の数字を$3$乗し，それぞれ$10$で割った余りを求めると元の暗証番号$\text{「}267\text{」}$に戻ることを確かめよ．

問５　上の方法(＊)で暗号化した数字$c$を$3$乗し，$10$で割った余りを求めると元の数字$m$に戻ることを示せ．