2021　広島市立大学　後期MathJax

【１】

問１（選択問題）次の(a)，(b)のいずれか一方を選択して解答せよ．なお，解答用紙の所定の欄にどちらを選択したかを記入すること．

(a)　$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$とするとき，${\alpha }^5$および${\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha$の値をそれぞれ求めよ．

【１】

問１（選択問題）次の(a)，(b)のいずれか一方を選択して解答せよ．なお，解答用紙の所定の欄にどちらを選択したかを記入すること．

(b)　放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた部分が，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【１】

問２　次の関数の導関数を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{e^{2x}}{1+\sin x}}$

【１】

問３　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\log 3}}{\displaystyle \frac{1}{e^{-x}+1}}\mathit{dx}$

【１】

問３　次の定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\cos 2x\mathit{dx}$

【１】

問４　実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[a]$で表す．$[{\log }_{3}n]=4$を満たす整数$n$の個数を求めよ．

【２】

問１　実数$x\text{，}$$y$に対して$\left|x\right|+\left|y\right|\geqq |x-y|$が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

【２】

問２　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の各数字が$1$つずつ書かれた$3$枚のカードが入った箱がある．この箱の中から無作為に$1$枚を取り出し，数字を見てから箱の中に戻すという試行を繰り返す．同じ数字を3回続けて取り出したら，試行を終了するものとする．

(1)　試行が$3$回で終了する確率を求めよ．

(2)　試行が$4$回以内で終了する確率を求めよ．

(3)　試行を$6$回行っても終了しない確率を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{OABC}$について，$m$を$0<m<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{CB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，直線$\mathrm{OD}$上に点$\mathrm{E}$を，直線$\mathrm{OD}$と直線$\mathrm{AE}$が垂直となるようにとる．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$m$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$m$を用いて表せ．

問３　$\left|\overrightarrow{\mathrm{EB}}\right|=1$となるときの$m$の値を求めよ．

問４　$\cos \mathrm{\angle AEB}$を$m$を用いて表し，$\mathrm{\angle AEB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるときの$m$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=2\log (x+1)-\log x$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$の極値，増減と，曲線$y=f(x)$の変曲点，凹凸を調べよ．

問２　極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$を調べよ．

問３　曲線$y=f(x)$上の点$(2,\log {\displaystyle \frac{9}{2}})$における接線を$l$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$x\geqq 1$において，直線$x=1\text{，}$接線$l$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．