2021　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{|\sqrt{3}-2|}}=a+\sqrt{3}b$を満たす有理数$a\text{，}$$b$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$90\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$\tan \theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　男子$2$人と女子$3$人が輪の形に並ぶとき，男子$2$人が隣り合うような並び方は，何通りあるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$a$を正の定数とする．座標平面において，円$x^2+y^2-2ax=0$と直線$y=3x$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さが$2$となるときの$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$({\log }_{3}32+{\log }_{9}8){\log }_{4}27$を計算せよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　点$(1,0)$を通り，曲線$y=x^3-x+1$に接する直線のうち，傾きが最大であるものの方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　座標空間に平行四辺形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{A}$$(3,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,0,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(6,2,1)$であるとする．このとき，頂点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$1$から$100$までの自然数について，$5$の倍数でない数の和を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$x$の$2$次方程式

$x^2+2ax+2a^2-4=0$$\cdots \text{①}$

$x^2+2x+4a-6=0$$\cdots \text{②}$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$\text{①}$が重解をもつような$a$の値をすべて求めよ．

(2)　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$がともに相異なる$2$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\text{①}$が相異なる$2$つの正の解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$\text{①}$と$\text{②}$が共通解をもつような$a$の値をすべて求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$n$回続けて投げるとき，$3$の倍数の目が$k$回出る確率を$P_k$とする．このとき，次の各問に答えよ．ただし，$0\leqq k\leqq n$とする．

(1)　$P_k$を$k$の式で表せ．ただし，組み合わせの記号を用いてよい．

(2)　$0\leqq k<n$のとき，${\displaystyle \frac{{}_{n}C_{k+1}}{{}_{n}C_k}}$を計算し，できるだけ簡単な形（既約分数式）で表せ．

(3)　$n=100$のとき，$P_k$が最大となる$k$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　次の方程式を解け．

${49}^x={\left({\displaystyle \frac{1}{343}}\right)}^{x+1}$

【２】　平面上の円$O$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=8$

を満たしている．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$を求めよ．

(3)　円$O$の半径を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{AD}$が円$O$の直径になるような円周上の点$\mathrm{D}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=2x\log (x^2+e)$

と定め，曲線$y=f(x)$上の点$(0,f(0))$での接線の傾きを$m$とする．また，傾きが$2m$で点$(2,8)$を通る直線の方程式を$y=g(x)$とおく．このとき，次の各問に答えよ．ただし，ここで$e$は自然対数の底である．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　$x>0$において，$f(x)-g(x)\geqq 0$となる$x$の値の範囲を求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．ただし，積分定数は$C$とせよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{e^3-e}}}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　$n$を$0$以上の整数として，複素数$z_n$を

$z_n=(2+\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{11}}){(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{11}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{11}})}^n$

と定める．また，集合$I$を

$I=\{w|w\text{は虚数}\}$

と定める．このとき，次の各問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$0\leqq x<44$のとき，方程式$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{11}}x)=0$を解け．

(2)　$0\leqq n<44$を満たす整数$n$で，$z_n\in I$となるものはいくつあるか．

(3)　集合$J$を

$J=\{z_n|n\text{は}0\leqq n<44\text{を満たす整数}\}$

と定める．このとき，集合$I\cap J$の要素の個数を求めよ．

(4)　(3)で定めた$J$に対し，集合$K$を

$K=\left\{{|z-1|}^2\right|z\in I\cap J\}$

と定める．このとき，集合$K$の要素の個数を求めよ．