2021　高知工科大学　総合選抜システム工学群MathJax

【１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=4$である．このとき，以下の(1)〜(4)に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．また，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$として，$|4\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|\leqq |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．

(4)　点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{AQ}\perp \mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{BQ}\perp \mathrm{OA}$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となる実数$s\text{，}$$t$を求めよ．

【２】　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta )=\cos 4\theta +3\sin \theta \cos \theta$とおく．このとき，以下の(1)〜(3)に答えよ．なお必要に応じて三角関数の加法定理$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \text{，}$および$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$を用いてよい．

(1)　$\sin 2\theta =t$とおくとき，$f(\theta )$を$t$で表せ．

(2)　$f(\theta )$の最小値$m$とそのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$f(\theta )$の最大値$M$を求めよ．また，$f(\theta )=M$を満たす$\theta$のうち，小さい方を$x\text{，}$大きい方を$y$とするとき，$\cos x=\sin y$であることを示せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に円$x^2+y^2+2y-3=0\cdots \text{①}$がある．円$\text{①}$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$$\text{（}\mathrm{A}\text{の}x\text{座標}<\mathrm{B}\text{の}x\text{座標），}$円$\text{①}$の中心を$\mathrm{C}\text{，}$半径を$r$とする．このとき，以下の(1)〜(4)に答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標と，$r$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$における円$\text{①}$の接線$l$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{\angle OCA}$の大きさを求めよ．

(3)　放物線$y=a{x}^2+bx+c\cdots \text{②}$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通り，さらに，点$\mathrm{A}$で(2)の$l$に接するとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，円$\text{①}$の$y\geqq 0$の部分と放物線$\text{②}$で囲まれる部分の面積を求めよ．