2021　北九州市立大学　推薦国際環境工学部MathJax

【１】　　以下の問いの空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．なお，証明や説明は必要としない．

問１　$2$つの放物線$y=4x^2-12x+14$と$y=-8x^2-6ax+b$の頂点が一致するとき，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$である．

【１】　　以下の問いの空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．なお，証明や説明は必要としない．

問２　$a\text{，}$$b$を整数とする．$a$を$8$で割ると$3$余り，$b$を$8$で割ると$7$余る．このとき，$ab$を$8$で割ると$\text{ウ}$余る．

【１】　　以下の問いの空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．なお，証明や説明は必要としない．

問３　$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta }{1+2\sin \theta \cos \theta }}$の値は$\text{エ}$であり，${\displaystyle \frac{\sin \theta \cos \theta -2\cos 2\theta +2}{{\cos }^2\theta }}$の値は$\text{オ}$である．

【１】　　以下の問いの空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．なお，証明や説明は必要としない．

問４　方程式$2^{2x+2}-10\cdot 2^x+4=0$の解は$x=\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$である．

【１】　　以下の問いの空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．なお，証明や説明は必要としない．

問５　$n=8$のとき，和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3$の値は$\text{ク}$である，

【２】　曲線$C$を$y=x^2-3x-4\text{，}$直線$l_1$を$x=a\text{，}$直線$l_2$を$x=a-4$とする．ただし，$a$は実数の定数である．直線$l_1$と曲線$C$の共有点を$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)\text{，}$直線$l_2$と曲線$C$の共有点を$\mathrm{Q}$$(x_2,y_2)$とおく．以下の問いに答えよ．問１と問２については，空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ（証明や説明は必要としない）．問３については答えを導く過程を記すこと．

問１　点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$の座標は$a$を用いてそれぞれ$\mathrm{P}$$(\text{サ},\text{シ})\text{，}$$\mathrm{Q}$$(\text{ス},\text{セ})$と表される．

問２　区間$0\leqq a\leqq 4$において，$2a^2+\left|y_1\right|+\left|y_2\right|$の最大値は$\text{ソ}$であり，最小値は$\text{タ}$である．

問３　$a=2$のとき，区間$a-4\leqq x\leqq a$において，曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．