2021　長崎県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

問１(1)　等式$x+y+z=10$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組の総数は，$10$個の丸「○」と$2$本の縦棒「｜」を横一列に並べるときの並べ方の総数と等しい．この$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組の総数を求めなさい．

(2)　等式$x+y+z=10$を満たす$1$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組の総数を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

問２　関数$f(x)=2\sin (2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})+2\cos 2x$がある．

(1)　$f(x)$を$r\sin (2x+\alpha )$の形で表しなさい．ただし，$r>0\text{，}$$-\pi \leqq \alpha <\pi$とする．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=-1$を解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

問３　次の表は，$100$人の生徒が受けた英語と数学のテストについての$\mathrm{A}$さんの結果である．

　なお，平均点$m\text{，}$標準偏差$s$のテストにおいて，得点$x$の偏差値$y$は次の式により求められる．

$y={\displaystyle \frac{x-m}{s}}\times 10+50$

(1)　英語の得点を$2$倍にして$100$点満点に換算するとき，換算した後の英語の得点の標準偏差を求めなさい．

(2)　英語の得点を$2$倍にして$100$点満点に換算する前の英語の得点と，数学の得点の共分散は$175$である．このとき，換算した後の英語の得点と数学の得点の相関係数を求めなさい．

【２】　放物線$y=x^2$を$C_1$とし，$y$軸上の点$\mathrm{A}$$(0,a)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．また放物線$C_1$上に点$\mathrm{B}$$(t,t^2)$がある．ただし，$a\text{，}$$t$は定数で$a>1\text{，}$$t>0$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

問１　放物線$C_1$上の点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，$a$を$t$を用いて表しなさい．

問２　放物線$C_1$と円$C_2$が点$\mathrm{B}$を共有し，かつ，点$\mathrm{B}$における$2$曲線の接線が一致するとき，$t$と$a$の値をそれぞれ求めなさい．

問３　問２のとき，点$\mathrm{B}$を通り$x$軸と平行な直線と放物線$C_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，円$C_2$の外部で，円$C_2$と放物線$C_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の値をそれぞれ求めなさい．

【３】　$3$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$がある．ただし，$n$は自然数$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

問１　数列$\{a_n\}$の初項は$2$であり，数列$\{a_n\}$の階差数列は初項$4\text{，}$公差$2$の等差数列である．数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

問２　問１の数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\}$は初項が$6$で，漸化式

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+a_{n+1}}{a_n}}\cdot b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．このとき，$c_n={\displaystyle \frac{b_n}{n}}$とおいて数列$\{c_n\}$の一般項を求めることで，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表しなさい．

問３　問２の数列$\{b_n\}$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とする．このとき，$S_n$を$n$を用いて表しなさい．

【４】　$\mathrm{▵OAB}$があり，$\mathrm{▵OAB}$の外心を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵OAB}$の内部にあり，直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

問１　$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}={\mathrm{OA}}^2$が成り立つことを示しなさい．

問２　$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めなさい．

問３　問２のとき，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}$と$\mathrm{OP}:\mathrm{PQ}$をそれぞれ求めなさい．

【４】　関数

$f(x)=3x+{\displaystyle \frac{4}{x}}-\log x$$\text{（}x>0\text{）}$

について次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記しなさい．

問１　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$をそれぞれ求めなさい．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてもよいものとする．

問２　関数$f(x)$の増減を調べて，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

問３　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}f(x)\mathit{dx}$を求めなさい．

【３】　$1$から$7$までの整数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っている．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　カードを$1$枚取り出し，数を確認してもとに戻すという操作を$3$回繰り返すとき，取り出されたカードに書かれた数の最大値が$4$である確率を求めなさい．

(2)　$3$枚のカードを同時に取り出すとき，その$3$枚のカードに書かれた数の積が$4$の倍数である確率を求めなさい．

(3)　$7$枚のカードを$1$枚ずつすべて取り出し，取り出した順に左からすべて並べる．$4$番目に取り出されたカードに書かれた数が$4$であったとき，奇数が書かれたカードと偶数が書かれたカードが交互に取り出されている条件付き確率を求めなさい．