2021　東北学院大学　後期文,法,経済,経営,教養学部3月3日MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　不等式$a{x}^2+bx>a^2-1$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{2}{7}}$とするとき，$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　$a\text{．}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e$の平均が$62\text{，}$標準偏差が$23$であるとき，$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$の値を求めよ．

【２】　関数$y=-{(x^2-2x)}^2+2(x^2-2x)$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x^2-2x$の最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　$y$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq 2$のとき，$y$の最小値と最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　等式$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$を示せ．

(ⅱ)　$2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{9}}\text{，}$$2\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{9}}\text{，}$$2\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{9}}$は方程式$x^3-3x-1=0$の解であることを示せ．

【４】　$a<b$となる実数$a\text{，}$$b$について，放物線$y=-x^2$の$(a,-a^2)$における接線を$l$とし，$(b,-b^2)$における接線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　直線$l$と直線$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$と直線$m$の交点の座標を求めよ．

(ⅲ)　放物線$y=-x^2\text{，}$直線$l\text{，}$直線$m$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$15$の階乗$15!$を素因数分解せよ．

(ⅱ)　$15!$は一の位から続けていくつの0が並ぶか答えよ．

(ⅲ)　$\sqrt{15!n}$が整数となるような正の整数$n$のうち，最小のものを求めよ．

【６】　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=2$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$および$\left|\overrightarrow{b}\right|$を求めよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．