2021　東北学院大学　後期工学部3月3日MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$k$を整数の定数とする．方程式$x^3+x^2-kx-k=0$が$3$つの異なる実数解をもつような$k$の取りうる最小の値は$\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1\leqq x\leqq 8$において$y=({\log }_{2}2x)({\log }_2{\displaystyle \frac{4}{x}})$が最大値を取るのは$x=\text{(イ)}$のときである．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の文字を$1$つずつ書いたカードが，それぞれ$2$枚，$1$枚，$1$枚，$2$枚ある．これらの$6$枚のカードから$4$枚のカードを取り出し，それぞれのカードに書かれた文字を$1$列に並べて文字列を作る．その文字列を英和辞典の単語の順序に従って並べたときに$\mathrm{CABD}$よりも後ろにくる文字列は$\text{(ウ)}$通りである．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　実数$x>0$について$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の最小値を求めよ．

(ⅱ)　$2$つの実数$x>0\text{，}$$y>0$について，$xy=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値を求めよ．

(ⅱ)　$r>0$を実数とする．$xy$平面上において，方程式${\log }_{3}x+{\log }_{3}y=2$が表す図形と方程式$x^2+y^2=r^2$が表す図形が共有点を持たないとき，$r$の値が取りうる範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)=-x^2+4|x-1|+1$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)=0$を満たす$x$を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅲ)　$y=f(x)$と$x=-1$における$f(x)$の接線とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=(1-x^2)e^{-x}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を用いてよい．また，変曲点は求めなくてよい．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．