2021　青山学院大学　全学部日程理系MathJax

(1)　条件$x+y+z=99$を満たすような組$(x,y,z)$は全部で$\text{1}\text{2}\text{3}\text{4}$個である．

(2)　条件$x+y+z=99\text{，}$$x=y$および$y\ne z$を満たすような組$(x,y,z)$は全部で$\text{5}\text{6}$個である．

(3)　条件$x+y+z=99\text{，}$$x<y<z$を満たすような組$(x,y,z)$は全部で$\text{7}\text{8}\text{9}$個である．

(ⅰ)　$1$枚のコインを投げて出た表裏に応じて，盤上の頂点にあるコマを動かす．

(ⅱ)　コイン投げの結果が表のときは，コマを右方向に$1$目盛動かす．ただし，その位置に頂点がない場合は動かさない，裏のときは，上方向に$1$目盛動かす．この場合も，その位置に頂点がない場合は動かさない．

(ⅲ)　最初，コマは頂点$\mathrm{S}$の位置にある．コマが頂点$\mathrm{G}$の位置に来たとき，ゲームを終了する．

(1)　ちょうど$4$回のコイン投げでゲームが終了する確率は${\displaystyle \frac{\text{10}}{\text{11}}}$である．

(2)　$6$回以内のコイン投げでゲームが終了する確率は${\displaystyle \frac{\text{12}\text{13}}{\text{14}\text{15}}}$である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\text{16}}{\text{17}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\text{18}}{\text{19}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\text{20}}{\text{21}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\text{22}}{\text{23}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

(2)　線分$\mathrm{DG}$上と線分$\mathrm{EF}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$をとる．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が一直線上にあるとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\text{24}}{\text{25}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\text{26}}{\text{27}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\text{28}}{\text{29}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\text{30}}{\text{31}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

である．

$\theta (t)=6\pi l^2+t{\displaystyle {\int }_0^1}\theta (s)\mathit{ds}$

を満たすとする．このとき，

${\displaystyle {\int }_0^1}\theta (t)\mathit{dt}=\text{32}\pi$

である．

　時刻$t$における座標が$(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$であるような点$\mathrm{P}$を考える．時刻$t=0$に点$\mathrm{A}$$(1,0)$を出発した$\mathrm{P}$が最初に$\mathrm{A}$に戻ってくる時刻を$t=T_1$とし，$2$回目に$\mathrm{A}$に戻ってくる時刻を$t=T_2$とする．同様に，$n=3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots$に対して，$\mathrm{P}$が$n$回目に$\mathrm{A}$に戻ってくる時刻を$t=T_n$とする．このとき，

$T_1={\displaystyle \frac{\text{33}}{\text{34}}}$

であり，一般に，

$T_n={\displaystyle \frac{\text{35}\text{36}+\sqrt{\text{37}+\text{38}n}}{\text{39}}}$

である．これにより，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}(T_n-T_{n-1})={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{40}}}{\text{41}}}$

が成り立つ．

(1)　関数$f(x)$の$-1\leqq x\leqq 1$における最大値は${\displaystyle \frac{\text{42}\sqrt{\text{43}}}{\text{44}}}$であり，そのときの$x$の値は${\displaystyle \frac{\text{45}\text{46}}{\text{47}}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{），}$$x$軸および$y$軸で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\text{48}\text{49}}{\text{50}}}+{\displaystyle \frac{\text{51}}{\text{52}}}\pi$

である．