2021　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2+6x+k=0$の$1$つの解が$-3+\sqrt{2}$であるとき，$k$の値は$\text{ア}$である．このとき，$-5\leqq x\leqq -2$における関数$y=x^2+6x+k$の最大値は$\text{イ}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{6}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{ウ}$であり，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{\text{エ}\text{オ}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=6$であるとき，$\sin \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{カ}\text{キ}}}{\text{ク}}}$である．また，$\sin {\displaystyle \frac{\mathrm{\angle BAC}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　不等式${\log }_{\frac{1}{3}}(4x^2+3x)>({\log }_{3}2)-2$の解は$-{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}<x<-{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\text{，}$$\text{ソ}<x<{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　中心が$(-2,3)$である円$C$が$x$軸に接するとき，$C$の方程式は$x^2+y^2+\text{ツ}x-\text{テ}y+\text{ト}=0$である．

　また，円$C$と直線$y=-x+k$が共有点を持つような定数$k$の範囲は$\text{ナ}-\text{ニ}\sqrt{\text{ヌ}}\leqq k\leqq \text{ネ}+\text{ノ}\sqrt{\text{ハ}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(6)　曲線$C\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{A}$$(1,1)$において，接線と直交する直線を$l_1$とするとき，$C$と$l_1$の交点のうち点$\mathrm{A}$以外の点$\mathrm{B}$の座標は，$(-{\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}},{\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}})$である．また，点$\mathrm{B}$における$C$の接線を$l_2$とするとき，$C$と$l_2\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(7)　箱の中に青玉$4$個と赤玉$3$個が入っている．箱から同時に$2$個の玉を取り出し，色を確認してから箱に戻す．これを$2$回繰り返すとき，取り出される青玉の総数が$1$個になる確率は${\displaystyle \frac{\text{ム}}{\text{メ}\text{モ}}}$である．また，$4$回繰り返すとき，取り出される青玉の総数が$5$個になる確率は${\displaystyle \frac{\text{ヤ}\text{ユ}\text{ヨ}}{\text{ラ}\text{リ}\text{ル}\text{レ}}}$である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式$2\cos \theta +1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式$2\cos (2\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式$2\cos (a\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+1=0$を満たす$\theta$がちょうど$15$個存在するような，正の定数$a$の範囲を求めよ．