2021　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$y=f(x)$が$f(1)=1\text{，}$$f^{\prime }(1)=1\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=1$を満たすとする．このとき，$f(x)=\text{ア}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$1$つのサイコロを$4$回投げ，出た目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とする．このとき$(a-b)(a-c)(a-d)=0$となる確率は$\text{イ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq x<2\pi$において，$\sin x+\sin 3x+\sin 5x=0$となる最大の$x$は$\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$x>0$とするとき，$({\log }_{2}4x)({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{8}})$は$x=\text{エ}$において最小値$\text{オ}$をとる．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　$\mathrm{▵OAB}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=16\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=8$を満たしている．実数$s\text{，}$$t$が$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0\text{，}$$s+t\leqq 1$を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$\text{カ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅵ)　等差数列$\{a_n\}$が

$a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}=190$

$a_{21}+a_{22}+a_{23}=-6$

を満たすとする．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$は$n=\text{キ}$のとき最大値$\text{ク}$をとる．

【２】　立体$\mathrm{O‐ABCD}$は正四角錐，すなわち底面$\mathrm{ABCD}$が正方形で$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$を満たすものである．さらに，底面の$1$辺の長さを$2\text{．}$正四角錐の高さを$2$とする．また，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:1$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$$に適する解答を答案用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{コ}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\text{サ}$である．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\text{シ}$である．

(ⅳ)　$\mathrm{▵PQC}$の面積は$\text{ス}$である．

(ⅴ)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面と線分$\mathrm{OD}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\text{セ}$である．

【３】　$k$は実数とする．直線$l\text{：}y=kx-2k\text{，}$曲線$C\text{：}y=x^3-4x$とする．以下の問題に答えよ．

(ⅰ)　直線$l$は$k$の値に関わらず曲線$C$上の定点$\mathrm{P}$を通る．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$と曲線$C$が接するときの$k$の値をすべて求めよ．

(ⅲ)　直線$l$と曲線$C$が相異なる$3$点を共有するための$k$の条件を求めよ．

(ⅳ)　直線$l$と曲線$C$が相異なる$3$点を共有するとき，点$\mathrm{P}$以外の$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の間の距離を$k$を用いて表せ．

【４】　座標平面内の単位円上の$1$点${\mathrm{A}}_1$をとる．ただし，$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1$が$x$軸となす角$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすものとする．点${\mathrm{A}}_1$から$x$軸に下した垂線を${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}$点${\mathrm{A}}_2$から線分$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1$に下した垂線を${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$とする．以下同様に，正の整数$k$に対し，点${\mathrm{A}}_{2k-1}$から$x$軸に下した垂線を${\mathrm{A}}_{2k-1}{\mathrm{A}}_{2k}\text{，}$点${\mathrm{A}}_{2k}$から線分$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1$に下した垂線を${\mathrm{A}}_{2k}{\mathrm{A}}_{2k+1}$となるように${\mathrm{A}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を順次定める．以下の問題に答えよ．

(ⅰ)　線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n$の長さを$\theta$と$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$n\geqq 1$に対し線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}$の長さを$L_n$とおくとき，無限級数$L={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{L}_n$は収束することを示し，そのときの和を$\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　$n\geqq 1$に対し$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_{2n-1}{\mathrm{A}}_{2n}{\mathrm{A}}_{2n+1}$の面積を$S_n$とおくとき，無限級数$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$は収束することを示し，そのときの和を$\theta$を用いて表せ．