2021　南山大　法，国際教養2月12日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　方程式$x^2+x+1=0$の解は$x=\text{ア}$である．また，多項式$P(x)$を$x-1$で割ると余りが$5\text{，}$$P(x)$を$x^2+x+1$で割ると余りが$2x$であるとき，$P(x)$を$x^3-1$で割ったときの余りは$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$とする．$\sin \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$\cos \theta =\text{ウ}$であり，$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　関数$f(x)=x^3-7x^2+7x+15$を考える．方程式$f(x)=0$の解は$x=\text{オ}$であり，$|f(x)|+f(x)=0$を満たす実数$x$の範囲は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$a$を$1$より大きい実数とし，$2$つの集合

$A=\{x|x\text{は}a\leqq x<a^2\text{を満たす整数}\}$

$B=\left\{x\right|x\text{は}x\geqq 4\text{を満たす整数}\}$

を考える．$A\cap B$が空集合となる$a$の値の範囲は$\text{キ}$である．また，$A\cap B=\{4\}$となる$a$の値の範囲は$\text{ク}$である．

【２】　$k$を正の定数とし，関数$f(x)=x^3-kx\text{，}$曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．

(1)　$C$上の点$(t,t^3-kt)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$C$の接線のうち点$(1,0)$を通るものがちょうど$2$本あるような$k$の値を求めよ．

(3)　$k$は(2)で求めた値とする．(2)の接線の方程式を求めよ．

(4)　$k$は(2)で求めた値とする．(3)の接線のうち傾きが正となる直線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．