2021　立命館大　スポーツ健康,薬,食マネジメント学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

〔1〕　$m\text{，}$$n$を自然数とする．

(ⅰ)　$30!$が$2^m$で割り切れるとき，最大の$m$の値は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　$125!$は末尾に$0$が連続して$\text{イ}$個並ぶ．したがって，$n!$が${10}^{40}$で割り切れる最小の$n$の値は$\text{ウ}$である．

【１】

〔2〕　正の実数$x\text{，}$$y$が，${({\log }_{10}x)}^2+{({\log }_{10}y)}^2=2$を満たすとき，$z=xy$の最大値と最小値を求める．$z=xy$より，${\log }_{10}z=\text{エ}+\text{オ}$と表せる．ただし，$\text{エ}$は$x$を用いた式とする．続いて，$t=\text{エ}\text{，}$$u={\log }_{10}z$とする．

　${({\log }_{10}x)}^2+{({\log }_{10}y)}^2=2$を，$t$と$u$を用いて表し，$t$について整理すると$2t^2+\text{カ}t+\text{キ}=0$となる．

　$t=\text{エ}$より，$t$はすべての実数値をとることから，$u$の値の範囲は$\text{ク}\leqq u\leqq \text{ケ}$とわかる．

　したがって，$z$の最大値は$\text{コ}\text{，}$最小値は$\text{サ}$である．

【１】

〔3〕　座標平面において考える．

(ⅰ)　不等式$\left|x\right|+2\left|y\right|\leqq 4$が表す領域の面積は$\text{シ}$である．

(ⅱ)　「${(x-1)}^2+{(y-1)}^2\leqq r^2$ならば，$\left|x\right|+2\left|y\right|\leqq 4$である．」が成り立つような正の数$r$の最大値は$\text{ス}$である．

(ⅲ)　「$\left|x\right|+2\left|y\right|\leqq 4$ならば，${(x-1)}^2+{(y-1)}^2\leqq r^2$である．」が成り立つような正の数$r$の最小値は$\text{セ}$である．

【２】　$a$を定数とする関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2+ax$について考える．

(1)　$g(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$とすると，$g(a)$は$a$の値の範囲によって次のように表される．

・$a\leqq \text{ア}$のとき，$g(a)=\text{イ}$

・$\text{ア}<a<\text{ウ}$のとき，$g(a)=\text{エ}$

・$\text{ウ}\leqq a$のとき，$g(a)=\text{オ}$

　次に，$g(x)$の最小値について考える．

・$a\leqq \text{ア}$のとき，$g(a)$の最小値は$\text{カ}$

・$\text{ア}<a<\text{ウ}$のとき，$g(a)$の最小値は$\text{キ}$

・$\text{ウ}\leqq a$のとき，$g(a)$の最小値は$\text{ク}$

　以上より，$a$がすべての実数値をとるとき，$g(a)$の最小値は$\text{ケ}$となる．

(2)　$a>\text{ア}$のとき，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(0,0)$における接線$L_1$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S_1$を求める．接線$L_1$と曲線$C$の共有点は，$(0,0)$と$(\text{コ},\text{サ})$となる．したがって，面積$S_1$は$\text{シ}$となる．

　一方，$a\leqq \text{ア}$のとき，曲線$C$上の点$(a,0)$における接線$L_2$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S_2$を求める．接線$L_2$と曲線$C$の共有点は，$(a,0)$と$(\text{ス},\text{セ})$となる．ここで，面積$S_2$を求めるために，接線$L_2$と曲線$C$を$x$軸方向に$-a$だけ平行移動して考えると，面積$S_2$は$\text{ソ}$となる．

【３】　図のように$1$辺の長さを$\alpha$とする正七角形$\mathrm{ABCDEFG}$を考える．各頂点からは，$2$つ隣の頂点に長さ$\beta$の対角線が，$3$つ隣の頂点に長さ$\gamma$の対角線が引ける．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{b}$とすると，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$にそれぞれ同じ向きの単位ベクトルは，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\overrightarrow{a}$と${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\overrightarrow{b}$であり，各点を結ぶベクトルは$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すことができる．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{ア}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\text{ア}\overrightarrow{a}+\text{イ}\overrightarrow{b}$である．ただし，$\text{ア}$には$\beta$を用いない式が入り，$\text{イ}$には$\gamma$を用いない式が入るものとする．$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\text{ウ}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$である．$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$は$\beta$を用いずに表すと$\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{エ}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$である．$\left|\overrightarrow{\mathrm{CF}}\right|=\gamma \text{，}$$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=\beta$であるため，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\text{オ}$という関係にある．

(2)　正七角形$\mathrm{ABCDEFG}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$$+\overrightarrow{\mathrm{AE}}$$+\overrightarrow{\mathrm{AF}}$$+\overrightarrow{\mathrm{AG}}$$=\text{カ}\overrightarrow{\mathrm{AO}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\text{キ}\alpha +\text{ク}\beta +\text{ケ}\gamma }{\text{カ}\alpha }}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$である．

　ここで，$\mathrm{\angle MOE}={\displaystyle \frac{\pi }{7}}=\theta$とする．

(3)　$\mathrm{▵ACF}$に着目すると，$\gamma =2\beta \cos (\text{コ}\theta )$であり，${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2$$=2{\alpha }^2\{1+\cos (\text{サ}\theta )\}$$=2{\alpha }^2(1+\text{シ}{\displaystyle \frac{\gamma }{\beta }})$である．$\text{コ}$と$\text{サ}$には，あてはまる最小の正の数が入るものとする．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AO}}\right|=R$とする．$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸上に$\mathrm{A}$$(R\cos 7\theta ,R\sin 7\theta )$と$\mathrm{M}$$(R\cos \theta ,R\sin 0)$がある座標平面を設定する．

　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$$+\overrightarrow{\mathrm{AE}}$$+\overrightarrow{\mathrm{AF}}$$+\overrightarrow{\mathrm{AG}}$$=\text{カ}\overrightarrow{\mathrm{AO}}$であるため，ベクトルの$x$座標成分を考えると，$\cos \theta$$+\cos 3\theta$$+\cos 5\theta$$=\text{ス}$である．したがって，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$$+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$$+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|}^2$$={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$$=\text{セ}{R}^2$である．

【４】　男子$n$人と女子$(m-n)$人からなる$m$人のクラスで，くじ引きで委員を選ぶとする．ただし，クラスの人数$m$は$4$以上とする．

(1)　$2$人の委員を$1$回だけ選ぶとき，同性となる確率は男子の人数$n$とクラスの人数$m$を用いた分数式として

${\displaystyle \frac{\text{ア}}{m(m-1)}}$

と表すことができる．この確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき$m$を用いて，$n=\text{イ}$と表すことができる．この条件を満たすクラスの人数$m$のうち$9$番目に小さい$m$は$\text{ウ}$である．このとき，男子の人数$n$は$2$通りあり，大きい方の$n$は$\text{エ}$である．

(2)　毎週$2$人の委員を選ぶとき，$k$週目まで常に男女が$1$人ずつとなる確率を$P_k$とする．ただし，一度選ばれたら二度と委員に選ばれることはなく，男女どちらかが全員選ばれたら終わるものとする．この確率の比$R_{k+1}={\displaystyle \frac{P_{k+1}}{P_k}}$は$m\text{，}$$n\text{，}$$k$を用いた分数式として

${\displaystyle \frac{\text{オ}}{(m-2k)(m-2k-1)}}$

と表すことができる．ここで，$R_k={\displaystyle \frac{1}{20}}\text{，}$$R_{k+1}=0$となるとき，男女の人数の差は$\text{カ}$人である．

(3)　毎週$3$人の委員を選ぶとき，$k$週目までの委員に選ばれた男子の人数の累計が奇数となる確率を$Q_k$とする．ただし，異なる週であれば同じ人が何度でも委員に選ばれることができ，例えば，同じ男子が$5$回選ばれるなら$5$人分として数える．このとき，$Q_1$は$m\text{，}$$n$のみを用いた分数式として

${\displaystyle \frac{n\{\text{キ}\}}{m(m-1)(m-2)}}$

と表すことができ，$Q_{k+1}$は$Q_k$と$Q_1$を用いて，$Q_{k+1}=\text{ク}$と表すことができる．$Q_k$を用いず$Q_1$と$k$を用いて表すと，$Q_{k+1}=\text{ケ}$となる．

　$k$の値によらず$Q_k$の値が一定の正の値になるのであれば，${\displaystyle \frac{m}{n}}$の値は$\text{コ}$である．

《注》設問「コ」について，正解が多数あり不適切で，全員に加点する，とある．