2021　関西大　全学日程文系2月1日実施MathJax

$F(x)={\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}$

は，$F^{\prime }(x)=-3x^2+2x+8$を満たすとする．ただし，$F^{\prime }(x)$は$F(x)$の導関数である．次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }(-3x^2+2x+8)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　関数$f(t)$を求めよ．

(3)　関数$F(x)$の極大値が$16$になるときの$a$の値をすべて求めよ．

$f(x)=\sin x+3\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\text{，}$$g(x)=\sin x+3\sqrt{2}\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

を考える．次の$$を数値でうめよ．

　$f(x)=\text{①}\sin x+\text{②}\cos x$と変形できる．したがって，$f(x)$の最大値は$\text{③}\text{，}$最小値は$\text{④}$である．また，$f(x)g(x)+\sin x$の最大値は$\text{⑤}\text{，}$最小値は$\text{⑥}$である．

$\alpha =\{\begin{array}{ll}n.\stackrel{\cdot }{a}\stackrel{\cdot }{b}& \text{（}a\ne b\text{のとき）}\\ n.\stackrel{\cdot }{a}& \text{（}a=b\text{のとき）}\end{array}$

を考える．次の$$をうめよ．

　$\alpha$をこえない最大の整数は，$a=b=\text{①}$のとき，$\text{②}$となり，それ以外のときは，$\text{③}$となる．

　以下では，$a=b=\text{①}$以外のときを考える．$\alpha$を分数で表すと

$\alpha ={\displaystyle \frac{\text{④}}{99}}$

となる．この表示が既約分数にならないための必要十分条件は，

$a+b$が$\text{⑤}$の倍数であるか，または$a=\text{⑥}$

であることである．$\alpha$を既約分数で表したときに，分母が$9$となるような$a$と$b$の組$(a,b)$は$\text{⑦}$個ある．