2021　関西大　全学日程理系2月5日実施MathJax

【１】　関数$f(x)={(\log x)}^2-3\log x$があり，曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，対数は自然対数である．

(1)　$C$と$x$軸の共有点の$x$座標を求めよ．また，$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　$C$の変曲点を点$\mathrm{A}$$(a,f(a))$とするとき，$a$の値を求めよ．また，$C$の概形を描け．

(3)　$C$上の点$\mathrm{P}$$(p,f(p))$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(4)　$y$軸上の点$\mathrm{B}$$(0,b)$を通る$C$の接線の本数を$b$の値によって分類せよ．

【２】　$n$を自然数として，数列$\{a_n\}$を$a_{n+3}-4a_{n+2}+5a_{n+1}-2a_n=0$によって定める．このとき，次の$$をうめよ．

(1)　$3$次方程式$x^3-4x^2+5x-2=0$の$3$つの実数解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$$\text{（}\alpha \leqq \beta \leqq \gamma \text{）}$とするとき，$(\alpha ,\beta ,\gamma )=\text{①}$である．

(2)　(1)で求めた$\beta \text{，}$$\gamma$に対し，$b_n=a_{n+1}-\beta a_n\text{，}$$c_n=b_{n+1}-\gamma b_n$とおく．このとき，$b_{n+2}$は$b_{n+1}$と$b_n$を用いて$b_{n+2}=\text{②}$と表すことができ，$c_{n+1}$は$c_n$を用いて$c_{n+1}=\text{③}$と表すことができる．

(3)　$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_3=5$とする．(2)において，$c_1=\text{④}$である．また，$b_n$を$n$を用いて表すと

$b_n=\text{⑤}$

である．さらに，$a_n$を$n$を用いて表すと

$a_n=\text{⑥}$

である．

【３】　曲様$C\text{：}\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta +\cos 2\theta \\ y=2\sin \theta -\sin 2\theta \end{array}$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$がある．このとき，次の$$を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}=\text{①}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}=\text{②}$である．

(2)　$0<\theta <2\pi$において，${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}=0$となる$\theta$の値のうち，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}=0$とならない$\theta$の値は$\theta =\text{③}$である．

(3)　${\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2$を$\cos 3\theta$を用いて表すと

${\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2=\text{④}$

であり，$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2}$を$\sin {\displaystyle \frac{3}{2}\theta }$を用いて表すと

$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2}=\left|\text{⑤}\right|$

である．これにより，$C$の長さは$\text{⑥}$と求めることができる．

【４】　次の$$をうめよ．

(1)　$10$以上$100$以下の自然数$N$のうち，$N^2$を$5$で割って$1$余るものを$n$とする．最小の$n$は$\text{①}$である．また，このような$n$は全部で$\text{②}$個ある．

【４】　次の$$をうめよ．

(2)　座標空間に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(t,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,t,1)$がある．ただし，$t$は実数とする．四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とするとき，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるのは$t=\text{③}$のときであり，四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるのは$t=\text{④}$のときである．

【４】　次の$$をうめよ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{10}^x-{10}^{-x}}{{10}^x+{10}^{-x}}}$は$f(a)={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$f(b)={\displaystyle \frac{1}{6}}$を満たしている．このとき，${10}^{2a}=\text{⑤}$であり，$f(a-b)=\text{⑥}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(4)　$\underset{\theta \to 0}{\mathrm{iim}}{\displaystyle \frac{1}{\theta }}({\displaystyle \frac{1}{3-\sin 2\theta }}-{\displaystyle \frac{1}{3+\sin 2\theta }})=\text{⑦}$である．また，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{\theta }^2}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3-{\sin }^{2}2\theta }}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3+{\sin }^{2}2\theta }}})=\text{⑧}$である．