2021　関西大　全学日程文系2月7日実施MathJax

$a_1=5\text{，}$$\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{5}}}=a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$が

$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}=3b_n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められている．$b_n$を求めよ．

(2)　$c_n={\log }_5{a}_n$とおく．$c_{n+1}$を$c_n$で表せ．

(3)　$a_n$を求めよ．それを利用して，すべての自然数$n$に対して，$a_n$は奇数であることを示せ．

　放物線$y=(2-x)(1-2x)$と$l$が接するのは，$a$の値が$\text{①}\text{，}$$\text{②}$のときである．ただし，$\text{①}<\text{②}$とする．このとき，各接点の$x$座標が$2$より小さいことが確かめられる．

　$C$と$l$の共有点の個数を調べる．$a$の値が$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$のとき，$C$と$l$の共有点は$2$つである．$a$の値が$a>\text{③}$または$\text{④}$の範囲のとき，$C$と$l$の共有点は$1$つである．$a$の値が$\text{②}<a<\text{③}$または$\text{⑤}$の範囲のとき，$C$と$l$の共有点は$3$つである．

　三角関数の合成を行うことにより

$g(x)=\text{①}\sin (f(x)+\text{②})$$\text{（}\pi <\text{②}<2\pi \text{）}$

を得る．$0\leqq x\leqq \sqrt{3}$のとき，$f(x)+\text{②}$の最大値，最小値は，それぞれ$\text{③}\text{，}$$\text{④}$である．したがって，このとき$g(x)$の最大値，最小値は，それぞれ$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$となり，$g(x)=-\sqrt{3}$となる$x$は$0\text{，}$${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{⑦}}{\sqrt{3}}}$である．