2021　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする平面上に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の重心は$\mathrm{O}$であるとする．このとき，$\mathrm{\angle AOB}=\text{ア}$である．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\text{イ}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2a_n-5n+3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たすとき，$a_1=\text{エ}\text{，}$$a_2=\text{オ}$である．また，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=\text{カ}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=\text{キ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$f(\theta )=\cos 2\theta +3\cos \theta -1$の最小値は$\text{ク}\text{，}$最大値は$\text{ケ}$である．また，方程式$f(\theta )=0$の解は$\theta =\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　最初の持ち点は$0$点とし，$2$枚の硬貨を同時に投げ，

・$2$枚とも表が出たら，投げた人の持ち点に$1$点を加える．

・$2$枚とも裏が出たら，投げた人の持ち点はそのままとする．

・$1$枚ずつ表と裏が出たら，投げた人は持ち点をすべて失う．

というゲームを考える．

(1)　$2$枚の硬貨を同時に投げ，$2$枚とも表が出る確率は$\text{ア}$であり，$1$枚ずつ表と裏が出る確率は$\text{イ}$である．

(2)　$n$回のゲームを行ったとき，初めて持ち点が$2$となる確率を$P_n$とする．このとき$P_2\text{，}$$P_3$はそれぞれ$P_2=\text{ウ}\text{，}$$P_3=\text{エ}$である．

(3)　いま$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{G}$の$2$人が交互に，つまり$\mathrm{K}$は$1\text{，}$$3\text{，}$$5\text{，}$$\cdots$の奇数回に，$\mathrm{G}$は$2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}$$\cdots$の偶数回に，$2$枚の硬貨を同時に投げ，$2$人のうち先に持ち点が$2$となった方を勝ちとしてゲームを終了する．$n$回目でどちらかが勝ちゲームが終了する確率を$Q_n$とする．このとき$Q_3\text{，}$$Q_4\text{，}$$Q_5\text{，}$$Q_6$はそれぞれ$Q_3=\text{オ}\text{，}$$Q_4=\text{カ}\text{，}$$Q_5=\text{キ}\text{，}$$Q_6=\text{ク}$である．また$6$回日までに$\mathrm{K}$が勝ちゲームが終了する確率は$\text{ケ}$であり，$6$回日まで$\mathrm{K}$も$\mathrm{G}$も勝てず$7$回目のゲームを行う確率は$\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$a$を実数の定数とし，$2$つの円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=4\text{，}$$C_2\text{：}{x}^2-6x+y^2-2ay+4a+4=0$について考える．

(1)　$C_2$の中心の座標は$\text{ア}\text{，}$半径は$\text{イ}$である．

(2)　$C_2$は$a$の値に関わらず$2$つの定点を通る．これらの定点の座標は，$x$座標が小さい方から順に$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$である．

(3)　$C_2$が直線$y=x+1$と異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲は$\text{オ}$である．

(4)　$C_1$と$C_2$が外接するような$a$の値は$a=\text{カ}$である．

(5)　$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$は$2$つの共有点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をもつ．このとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式は$y=\text{キ}$であり，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と原点$(0,0)$を通る円の中心の座標は$\text{ク}\text{，}$半径は$\text{ケ}$である．

(6)　$a=0$のとき，$C_1$上の点$(x_1,y_1)$における$C_1$の接線が$C_2$に接するような$x_1$の値は$x_1=\text{コ}$である．

【４】　関数$f(x)$と$g(x)$を，

$f(x)=a{x}^2+bx-1\text{，}$$g(x)=c\log x$

とし，曲線$C_1$と$C_2$を

$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$$\text{（}x>0\text{）}$

とする．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数の定数で，$a\ne 0\text{，}$$c>0$とする．また，曲線$C_1$と曲線$C_2$は共有点$(1,0)$をもち，その点で共通の接線$l$をもつとする．さらに，曲線$C_1$と曲線$C_2$および直線$x=2$で囲まれた部分を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　定数$a\text{，}$$b$を$c$のみを用いて表せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}\log x\mathit{dx}$および${\displaystyle {\int }_1^2}{(\log x)}^2\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　$D$の面積$S$が$S={\displaystyle \frac{10}{3}}-4\log 2$であるとする．このとき，$c$の値および直線$l$の方程式を求めよ．

(4)　$c$が(3)で求めた値をとるとき，$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．