2021　福岡大学　後期理，工学部MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　座標平面上において，曲線$C_1\text{：}y=\sin x$を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とし，$C_2$を$y$軸に関して対称移動して得られる曲線を$C_3$とする．曲線$C_3$の方程式を$y=A\sin x+B\cos x$とするとき，$(A,B)=\text{(1)}$である．また，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$C_1$と$C_3$との共有点の$x$座標を$a$とするとき，${\sin }^{2}a=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　条件$a_{n+1}=-{\displaystyle \frac{2}{a_n+3}}\text{，}$$a_1=1$で定められる数列$\{a_n\}$に対し，$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n+1}}$とする．このとき$b_{n+1}$を$b_n$で表すと$b_{n+1}=\text{(3)}$となり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　座標空間において，点$\mathrm{P}$$(p,p,1)$は，$3$点$\mathrm{A}$$(-1,4,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0,2)$の定める平面$\mathrm{ABC}$上にあるとする．このとき，$p=\text{(5)}$である．また，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の球面と$xy$平面が交わってできる円の半径が$3$であるとき，$r=\text{(6)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$1$から$20$までの番号が$1$つずつ書かれた$20$個の球が箱に入っている．この箱から$3$個の球を取り出すとき，取り出した$3$個の球の数字の積が奇数となる確率は$\text{(7)}$であり，取り出した$3$個の球の数字の積が$8$の倍数となる確率は$\text{(8)}$である．

【２】　座標平面上の楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上の点$(2,0)$と異なる$C$上の点$\mathrm{A}$における接線を$l$とする．この接線$l$が点$(2,\sqrt{3})$を通るとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　接線$l\text{，}$直線$x=2\text{，}$楕円$C$の$y\geqq 0$の部分で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　曲線$C\text{：}y=x^3-4x$と点$(-2,0)$を通る直線$l\text{：}y=kx+2k$とが$x\geqq -2$の範囲において異なる$3$点で交わるとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$k$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$k>0$とする．曲線$C$と直線$l$との共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$（ただし$\alpha <\beta <\gamma \text{）}$とする．$\alpha \leqq x\leqq \beta$の範囲で$C$と$l$とで囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$$\beta \leqq x\leqq \gamma$の範囲で$C$と$l$とで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=1:2$のとき，$k$の値を求めよ．