2022　北海道大学　前期MathJax

【１】　$k$を実数の定数とし，

$f(x)=x^3-(2k-1)x^2$$+(k^2-k+1)x-k+1$

とする．

(1)　$f(k-1)$の値を求めよ．

(2)　$\left|k\right|<2$のとき，不等式$f(x)\geqq 0$を解け．

【２】　$\{a_n\}$を$a_1=-15$および

$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{n}{5}}-2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす数列とする．

(1)　$a_n$が最小となる自然数$n$をすべて求めよ．

(2)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$が最小となる自然数$n$をすべて求めよ．

【３】　$\mathrm{\angle A}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle B}=60\mathrm{°}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，その内接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$半径を$r$とおく．また$a=\mathrm{BC}$とする．

(1)　$r$を$a$で表せ．

(2)　次の条件をみたす負でない整数$k\text{，}$$l\text{，}$$m\text{，}$$n$の組を一つ求めよ．

$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:k+\sqrt{l}\text{，}$$\mathrm{OA}:\mathrm{OC}=1:m+\sqrt{n}$

【４】　箱の中に$1$文字ずつ書かれたカードが$10$枚ある．そのうち$5$枚には$\mathrm{A}\text{，}$$3$枚には$\mathrm{B}\text{，}$$2$枚には$\mathrm{C}$と書かれている．箱から$1$枚ずつ，$3$回カードを取り出す試行を考える．

(1)　カードを取り出すごとに箱に戻す場合，$1$回目と$3$回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ．

(2)　取り出したカードを箱に戻さない場合，$1$回目と$3$回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ．

(3)　取り出したカードを箱に戻さない場合，$2$回目に取り出したカードの文字が$\mathrm{C}$であるとき，$1$回目と$3$回目に取り出したカードの文字が一致する条件つき確率を求めよ．

【１】　$0\leqq a\leqq b\leqq 1$をみたす$a\text{，}$$b$に対し，関数

$f(x)=|x(x-1)|+|(x-a)(x-b)|$

を考える．$x$が実数の範囲を動くとき，$f(x)$は最小値$m$をもつとする．

(1)　$x<0$および$x>1$では$f(x)>m$となることを示せ．

(2)　$m=f(0)$または$m=f(1)$であることを示せ．

(3)　$a\text{，}$$b$が$0\leqq a\leqq b\leqq 1$をみたして動くとき，$m$の最大値を求めよ．

【２】　$a$は$a\ne 1$をみたす正の実数とする．$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$および${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}\cdots$が，すべての自然数$n$について

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+\mathrm{i}}}=(1-a)\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{Q}}_{n+1}}=(0,{\displaystyle \frac{a^{-n}}{1-a}})$

をみたしているとする．また，${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする．

(1)　$x_{n+2}$を$a\text{，}$$x_n\text{，}$$x_{n+1}$で表せ．

(2)　$x_1=0\text{，}$$x_2=1$のとき，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$y_1={\displaystyle \frac{a}{{(1-a)}^2}}\text{，}$$y_2-y_1=1$のとき，数列$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　連立不等式$x\geqq 2\text{，}$$2^x\leqq x^y\leqq x^2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．ただし，自然対数の底$e$が$2<e<3$をみたすことを用いてよい．

(2)　$a>0$に対して，連立不等式$2\leqq x\leqq 6\text{，}$ $(x^y-2^x)(x^a-x^y)\geqq 0$の表す$xy$平面上の領域の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　アルファベットの$\mathrm{A}$と書かれた玉が$1$個，$\mathrm{D}$と書かれた玉が$1$個，$\mathrm{H}$と書かれた玉が$1$個，$\mathrm{I}$と書かれた玉が$1$個，$\mathrm{K}$と書かれた玉が$2$個，$\mathrm{O}$と書かれた玉が$2$個ある．これら$8$個の玉を円形に並べる．

(1)　時計回りに$\mathrm{HOKKAIDO}$と並ぶ確率を求めよ．

(2)　隣り合う子音が存在する確率を求めよ．ここで子音とは，$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{K}$の$3$文字（玉は$4$個）のことである．

(3)　隣り合う子音が存在するとき，それが$\mathrm{KK}$だけである条件つき確率を求めよ．

【５】　複素数$z$に関する次の$2$つの方程式を考える．ただし，$\bar{z}$を$z$と共役な複素数とし，$i$を虚数単位とする．

$z\bar{z}=4$$\cdots \text{①}$$\left|z\right|=|z-\sqrt{3}+i|$$\cdots \text{②}$

(1)　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$それぞれの方程式について，その解$z$全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の共通解となる複素数をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めたすべての複素数の積を$w$とおく．このとき，$w^n$が負の実数となるための整数$n$の必要十分条件を求めよ．