2022　北海道大学　後期MathJax

【１】　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対し，$S=a^3+b^3+c^3-3abc$とおく．

(1)　$a+b+c=0$のとき，$S=0$であることを示せ．

(2)　$S=2022$をみたす整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は存在しないことを示せ．

(3)　$S=63$かつ$a\leqq b\leqq c$をみたす整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の実数とし，次の連立不等式$\text{①}$と連立不等式$\text{②}$を考える．

$\{\begin{array}{l}ay+bx<(6c-3)ab\\ ay-bx<(6c-3)ab\\ y>(2-3c)b\end{array}\cdots \text{①}$$\{\begin{array}{l}ay+bx>-ab\\ ay-bx>-ab\\ y<b\end{array}\cdots \text{②}$

(1)　$c=1$のとき，$\text{①}$をみたすが$\text{②}$をみたさない実数の組$(x,y)$が定める領域を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$c>{\displaystyle \frac{5}{9}}$のとき，命題「実数の組$(x,y)$が$\text{①}$をみたすならば，$\text{②}$もみたす」が真となるための，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に関する必要十分条件を求めよ．

【３】　$a$を実数とし，$xy$平面上に点$\mathrm{A}$$(a,8)$および点$\mathrm{B}$$(2,4)$をとる．$xy$平面上に直線$l$をとり，$l$に関して点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　点$\mathrm{Q}$が$y$軸上の点$(0,2b+4)$であるとき，直線$l$の方程式を，$b$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$x$軸上に，点$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるような直線$l$がちょうど$3$本存在する$a$の範囲を求めよ．

【４】　$a$は$0$でない複素数で，$0\leqq \arg a<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$をみたすものとする．複素数平面上の点$\mathrm{A}(-a^2+2ia)\text{，}$点$\mathrm{B}(-1)$と原点$\mathrm{O}$に対し，点$\mathrm{B}$を通り，$\mathrm{\angle ABO}$を$2$等分する直線を$l$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$t$を正の実数，$z$を複素数とする．点$\mathrm{P}(z)$は直線$l$上にあり，$\mathrm{BP}=t$かつ$z$の虚部は$0$以上とする．このとき，$z$を$a$と$t$で表せ．

(2)　$a$は$|a-(2+{\displaystyle \frac{i}{2}}\left)\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたして動くとする．直線$l$と原点$\mathrm{O}$との距離が最小となる$a$を求めよ．