2022　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とおき，$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示し，各$a_n$が正の整数になる理由を説明せよ．

(3)　各$a_n$の一の位の数を$b_n$とおくとき，$b_{14}\text{，}$$b_{2022}$をそれぞれ求めよ．

【２】　放物線$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{x}^2$を$C_1$とする．点$\mathrm{P}$$(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$で垂直に交わる直線を$l$とする．また，$l$と$x$軸との交点を中心とし，点$\mathrm{P}$を通る円を$C_2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_2$の中心と半径を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることは証明せずに用いてよい．

(1)　$\tan \alpha$と$\tan \beta$が有理数であり，$\tan (\alpha +\beta )$が定義されるとき，$\tan (\alpha +\beta )$も有理数であることを示せ．

(2)　$\tan 10\mathrm{°}$は無理数であることを示せ．

(3)　$\tan (90\mathrm{°}-\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}$$\text{（}0\mathrm{°}<\alpha <90\mathrm{°}\text{）}$が成り立つことを，鋭角の三角比の定義にもとづいて説明せよ．

(4)　$\tan 8\mathrm{°}$は無理数であることを示せ．