2022　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　関数$y={({\log }_{3}x)}^2-{\log }_3(x^2)+a$$({\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq x\leqq 9)$の領域が$b\leqq y\leqq 5$であるとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めると，$(a,b)=\text{(a)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$f(x)=x^2+x{\displaystyle {\int }_0^1}t{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}-1$を満たす関数$f(x)$を求めると，$f(x)=\text{(b)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$個のさいころを投げ，出た目に応じて次の規則で$\mathrm{P}$を動かす．

・出た目が$1$または$2$のとき，$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ進める．

・出た目が$3$のとき，$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進める．

・出た目が$4$以上のとき，$\mathrm{P}$を正の向きに$2$だけ進める．

さいころを$3$回投げ終わったとき，$\mathrm{P}$の座標が$1$以下である確率は，$\text{(c)}$である，

【２】　空間に$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

を満たしているとする．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の面積を求めよ．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$n$は$2$以上の自然数とする．$n$個のデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$が，$x_k=5\cdot 2^k+4k+2022$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$で与えられているとき，$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$の平均値$\bar{x}$を$n$の式で表すと，$\bar{x}=\text{(ア)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　整数$x\text{，}$$y$は$2x-y-6\geqq 0\text{，}$$x-2y+2\leqq 0$を満たしているとする．このとき，$x+y$の最小値は，$\text{(イ)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{3}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=\sqrt{3}$となる点$\mathrm{D}$をとり，$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\mathrm{CF}=\text{(ウ)}$である．

【４】　$a$は実数で$a>0$とする，関数$f(x)=x^3-3x^2-24x$の$a\leqq x\leqq a+2$における最小値を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，不等式

$1+x+x^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{1-x}}\leqq 1+x+2x^2$

を証明せよ．

(2)　不等式$0.66<\log 2<0.71$を証明せよ．ただし，対数は自然対数とする．