2022　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$3$辺の長さをそれぞれ$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$\mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:2$と内分する点を$\mathrm{L}$とする．辺$\mathrm{OA}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}$となる点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は$\mathrm{\angle PLQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすように動き，$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，$0<m<1\text{，}$$0<n<1$とする．

問１　$m+n$の値は一定であることを示し，その値を求めよ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$m$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{▵PRQ}$の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で連続な関数$f(x)$について，数列$\{g_n\}$を

$g_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle {\int }_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{2n}}}f(x)\mathit{dx}\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

と定める．次の各問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$は$0$でない定数とし，$e$は自然対数の底である．

問１　$f(x)=a{x}^2+bx+c$のとき，$g_n$を求めよ．

問２　$f(x)=e^{\alpha x}$のとき，$g_n$を求めよ．

問３　$I={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$とおく．このとき，$f(x)=p{e}^{\alpha x}+q{e}^{\beta x}+a{x}^2+bx+c$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n$を$I$を用いて表せ．

【３】　$1$から$30$までの自然数について，次の各問いに答えよ．

問１　この$30$個の自然数のうち，次の数はいくつあるか．

(1)　$4$の倍数または$6$の倍数

(2)　$2$の倍数であるが$4$でも$6$でも割り切れない数

問２　この$30$個の自然数から互いに異なる$2$数を選ぶとき，次の選び方は何通りあるか．

(1)　少なくとも一方の数が$12$の倍数となる選び方

(2)　$2$つの数の積が$12$の倍数となる選び方

【４】　$a\text{，}$$b$は正の実数で$a>b$とし，$\alpha$は$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{b}{a}}$を満たす角とする．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．このとき，次の問１と問２に答えよ．右下に図１と図２がある．

問１　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$a$で中心角は${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$より小さい扇形$\mathrm{BOA}$がある．ただし，点$\mathrm{A}$の座標は$(a,0)$であり，点$\mathrm{B}$は第$1$象限にある．この扇形を$y$軸方向に${\displaystyle \frac{b}{a}}$倍に縮小した図形を$\mathrm{COA}$で表す．ここで点$\mathrm{C}$は，点$\mathrm{B}$の座標を$(x_0,y_0)$としたときに座標が$(x_0,{\displaystyle \frac{b}{a}}{y}_0)$となる点であり，$\mathrm{\angle COA}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．図形$\mathrm{COA}$は図１の灰色部分である．

(1)　扇形$\mathrm{BOA}$の中心角$\mathrm{\angle BOA}$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　図形$\mathrm{COA}$の面積を$a\text{，}$$b\text{，}$$\alpha$を用いて表せ．

(3)　図形$\mathrm{COA}$を楕円${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$によって$2$つの図形に分けたとき，原点$\mathrm{O}$を含む方の図形の面積を$m\text{，}$点$\mathrm{A}$を含む方の図形の面積を$n$とする．$m$と$n$を$a\text{，}$$b\text{，}$$\alpha$を用いてそれぞれ表せ．

問２　座標平面上で次の不等式の表す$4$つの領域を考える．

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}\leqq 1$の表す領域を$U_0\text{，}$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}\geqq 1$の表す領域を$U_1$

${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}\leqq 1$の表す領域を$V_0\text{，}$${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}\geqq 1$の表す領域を$V_1$

とする．さらに$S=U_0\cap V_0\text{，}$$T=(V_0\cap V_1)\cup (U_1\cap V_0)$の面積をそれぞれ$s\text{，}$$t$とする．図２において，灰色部分が領域$S\text{，}$$4$つの斜線部分が領域$T$である．

(1)　$s=t$となるときの$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$が$a^2+b^2=1$を満たしながら変化するとき，$S\cup T$の面積が最大となる$\alpha$の値を${\alpha }_0$とする．$\alpha ={\alpha }_0$のとき，$s$と$t$の大小を比較せよ．