2022　弘前大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\sin 40\mathrm{°}-\sin 80\mathrm{°}+\sin 160\mathrm{°}$の値を求めよ．

(2)　$\tan 40\mathrm{°}-4\sin 80\mathrm{°}+4\sin 160\mathrm{°}$の値を求めよ．

【２】　実数$a$に対し，関数$f(x)=x^3+a{x}^2+3x$は極値をもつとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の範囲を求めよ．

(2)　関数$f(x)$は$x=\alpha$で極大，$x=\beta$で極小になるとし，点$\mathrm{A}$$(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$点$\mathrm{B}$$(\beta ,f(\beta ))$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

【３】　$n$は自然数とする．座標平面上に$2$直線$l_1\text{：}y=x$と$l_2\text{：}y=2x$をとる．$l_1$上の点${\mathrm{A}}_n$$(a_n,a_n)$を通り，$y$軸に平行な直線と$l_2$との交点を${\mathrm{B}}_n$とし，点${\mathrm{B}}_n$を通り，$l_1$に垂直な直線と$l_1$との交点を${\mathrm{A}}_{n+1}$$(a_{n+1},a_{n+1})$とする．同様に$l_1$上の点${\mathrm{C}}_n$$(c_n,c_n)$を通り，$x$軸に平行な直線と$l_2$との交点を${\mathrm{D}}_n$とし，点${\mathrm{D}}_n$を通り，$l_1$に垂直な直線と$l_1$との交点を${\mathrm{C}}_{n+1}$$(c_{n+1},c_{n+1})$とする．$a_1=1$のとき，次の問いに答えよ．ただし，${\displaystyle \frac{11}{7}}<{\log }_{2}3$は用いてよい．

⑴　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$の式で表せ．

⑵　$k$を自然数とする．$c_1=a_k$とし，数列$\{c_n\}$を定める．

(ⅰ)　一般項$c_n$を$k$と$n$の式で表せ．

(ⅱ)　$c_{k+1}<1<c_k$を満たす$k$をすべて求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}t\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-t)\mathit{dt}$とする．関数$f(x)$の$0\leqq x\leqq 2\pi$における最大値と最小値を求めよ．

【５】　$0<a<1\text{，}$$0<\theta <\pi$とし，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}$$(a\cos \theta ,a\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(1,0)$をとる．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通り$x$軸上に中心をもつ円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　円$C$と$x$軸の交点のうち$\mathrm{Q}$と異なる点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の$x$座標を$a\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた点$\mathrm{R}$の$x$座標を$f(\theta )$と書き，$\theta$の関数と考える．このとき，定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3}{4}\pi }}f(\theta )\sin \theta \mathit{d\theta }$

を求めよ．

【６】　複素数$z$に対し

$f(z)=z\bar{z}+i(z-\bar{z})$

と定める．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　すべての複素数$z$に対して，$f(z)$は実数であることを示せ．

(2)　不等式

$0\leqq f(z)\leqq 1$

を満たす点$z$を，複素数平面上に図示せよ．

(3)　複素数$z$が，条件

$\{\begin{array}{l}0\leqq f(z)\leqq 1\\ \left|z\right|\geqq |z-2i|\end{array}$

を満たしながら複素数平面上を動くとき，$|z+1|$の最大値と最小値，およびそのときの$z$の値を求めよ．

【７】　次の問いに答えよ．

(1)　次の方程式の表す図形を$xy$平面上に図示せよ．

${\log }_{2}x={\log }_4(x+y+2)$

【７】　次の問いに答えよ．

(2)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

【８】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$のとき

$x{(1-x)}^n<{\displaystyle \frac{1}{n}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{n}}}\text{，}$$b_n=\sqrt[4]{n}$とおく．このとき，次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{a_n}^{b_n}}{(1-{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{n}}})}^n\mathit{dx}$

【９】　次の問いに答えよ．必要があれば，自然対数の底$e$が${\displaystyle \frac{5}{2}}<e<3$を満たすこと，および$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=\infty$であることを用いてよい．

(1)　$k$を定数とするとき，方程式$e^{2x}=kx$の異なる実数解の個数を求めよ．

(2)　(1)の方程式$e^{2x}=kx$がただ$1$つの実数解をもつ$k$に対して，関数

$f(x)=e^{2x}-kx$

の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を求めよ．