2022　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　曲線$y=\tan x$上の点$(t,\tan t)$における接線が$x$軸と交わる点を$(f(t),0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を$t$の式で表せ．

(2)　自然数$n$に対して，実数$a_n$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}f\left({\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}\right)$

で定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　$k$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{k(k+x)}}\mathit{dx}$

(2)　$0\leqq x\leqq 1$に対して

$0\leqq {\displaystyle \frac{x}{k(k+x)}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$2$以上の整数$n$に対して，実数$a_n$を

$a_n={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}}{\log n}}$

で定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　互いに素な$2$つの自然数$p\text{，}$$q$に対して$C(p,q)$は中心$({\displaystyle \frac{p}{q}},{\displaystyle \frac{1}{2q^2}})\text{，}$半径${\displaystyle \frac{1}{2q^2}}$の円を表すとする．次の問いに答えよ．

(1)　互いに素な自然数の$2$つの組$(a,b)$と$(c,d)$が次の条件を満たすとする．

${\displaystyle \frac{a}{b}}\ne {\displaystyle \frac{c}{d}}$

このとき，$2$つの円$C(a,b)$と$C(c,d)$は共有点をもたないか，または接することを証明せよ．

(2)　$2$つの円$C(3,5)\text{，}$$C(2,3)\text{，}$および$x$軸に接する円$C(p,q)$をすべて求めよ．