2022　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6$であるとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円を$C$とする．円$C$上に，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{R}$をとり，点$\mathrm{Q}$における円$C$の接線と直線$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{PR}=9\text{，}$$\mathrm{RS}=7$であるとき，円$C$の半径を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　方程式${\log }_{\sqrt{7}}(x-5)-{\log }_7(x+9)=1$を解け．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=3a_n+n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$および$a_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ．

(3)　$a_n$および$S_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }2x^2{e}^x\mathit{dx}$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【３】　次の問いに答えよ．

(2)　曲線$y=\sqrt{3x-9}$と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(3)　曲線$y=8-2x^2$と$x$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　$2$つの曲線$A\text{：}y=e^{-2x}(x^2-2x-5)\text{，}$$B\text{：}y=-x^2+x-25$がある．ただし，$e$は自然対数の底である．点$\mathrm{P}$は曲線$A$上の点で，$\mathrm{P}$の$y$座標は，曲線$A$を表す関数の極小値に等しいものとする．曲線$A$上の点$\mathrm{P}$における接線$l_1$と，曲線$B$上の点$\mathrm{Q}$における接線$l_2$が平行であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$A$を表す関数$y$の増減を調べ，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　曲線$B$上の点$\mathrm{Q}$における法線$m$と曲線$A$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{R}$を結ぶ直線によって囲まれる三角形の面積$S$を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$a>1\text{，}$$c\geqq 0$とする．$2$次方程式$a{x}^2-2x+a=0$の$1$つの解を$z=b+ci$とし，他の解を$w$とする．ただし，$i$は虚数単位を表す．次の問いに答えよ．

(1)　$b\text{，}$$c$をそれぞれ$a$の式で表せ．

(2)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(w)$を頂点とする$\mathrm{▵OAB}$は，二等辺三角形であることを示せ．

(3)　$a$の値が変化するとき，点$z$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(4)　$z^5=-i$のとき，$a$の値を求めよ．

【３】　ある公園には右の図の線で示されるような歩道が造られている．また，この公園内には図の$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の$3$地点にだけ水飲み場が設置されている．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$地点から歩道を通って$\mathrm{B}$地点に至る最短の経路のうち，$\mathrm{P}$地点の水飲み場を通るものは何通りあるか．

(2)　$\mathrm{A}$地点から歩道を通って$\mathrm{B}$地点に至る最短の経路のうち，水飲み場を$1$回以上通るものは何通りあるか．

【４】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$f(x)=x^3+ax+b$とする．

　曲線$y=f(x)$が点$(-1,f(-1))$で直線$y=-2x-1$に接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　多項式$g(x)$と正の定数$c$に対して，等式

$g(x)={\displaystyle {\int }_c^x}\{f(t)+g(t)\}\mathit{dt}$

が成立するとき，$g(x)$および$c$の値を求めよ．

【５】　$t=\sin x+\cos x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\sin 2x$を$t$の式で表せ．

(3)　関数$y=\sin 2x+a(\sin x+\cos x)+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の最小値が$0$であるとき，定数$a$の値を求めよ．

【５】　微分可能な関数$f(x)$に対し，$g(x)=f(x)e^{-x}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)=f(x)+g^{\prime }(x)e^x$であることを示せ．

(2)　ある定数$a$に対し，等式

$f(x)={\displaystyle {\int }_a^x}\{f(t)-4t{e}^{-t}\}\mathit{dt}$

が成立し，かつ$f(0)=1$であるとき，$f(x)$および$a$の値を求めよ．