2022　岩手大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=4^x-2^{x+1}+3^a$は，$x=b$で最小値$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$をとる．定数$a$と$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$n$を自然数とする．次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}>{\displaystyle \frac{2n-1}{2\sqrt{n}}}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．どの箱の中にも$1$から$6$までの番号札が$1$枚ずつ入っている．箱$\mathrm{A}$から$1$枚，箱$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$からそれぞれ$2$枚の番号札を取り出す．箱$\mathrm{A}$から取り出された札の番号を$a\text{，}$箱$\mathrm{B}$から取り出された札の番号を$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$箱$\mathrm{C}$から取り出された札の番号を$c_1\text{，}$$c_2$とする．$a$が$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$c_1\text{，}$$c_2$のいずれとも一致しない確率を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　次の関数$f(x)$が，$x=0$で連続であるか不連続であるかを調べよ．

$\text{(a) }f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^3}{\left|x\right|}}& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 0& \text{（}x=0\text{)}\end{array}$$\text{(b) }f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^3+x}{\left|x\right|}}& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 0& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<q<10\text{，}$$a>0\text{，}$$b>0$とする．$xy$平面上に原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$$(5,q)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(0,q)\text{，}$点$\mathrm{C}$$(5,10)$がある．曲線$y=-a{(x-5)}^2+q$は原点$\mathrm{O}$を通るとし，この曲線と直線$\mathrm{OA}$で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．曲線$y=b{x}^2+q$は点$\mathrm{C}$を通るとし，この曲線と直線$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$のとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(2)　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$a\ne b$とする．楕円$C$が媒介変数$\theta$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}\text{（}-\pi \leqq \theta <\pi \text{）}$

と表される．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対応する$C$上の点を$\mathrm{A}$とする．$C$上の点$\mathrm{A}$における接線$l$の傾きを$a\text{，}$$b$を用いて表せ．また，$l$に平行で$l$とは異なる$C$の接線$m$の方程式を求めよ．