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2022-10081-0101
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF2頁)へ
2022 東北大学 前期
文系,理系共通
易□ 並□ 難□
【1】 K を 3 より大きな奇数とし, l+m+ n=K を満たす正の奇数の組 ( l,m,n ) の個数 N を考える.ただし,たとえば, K=5 のとき, (l ,m,n )=( 1,1,3 ) と ( l,m,n )=( 1,3, 1) とは異なる組とみなす.
(1) K=99 のとき, N を求めよ.
(2) K=99 のとき, l , m , n の中に同じ奇数を 2 つ以上含む組 ( l,m, n) の個数を求めよ.
(3) N>K を満たす最小の K を求めよ.
2022-10081-0102
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文系
【2】 実数 t の関数
F⁡( t)= ∫0 1 |x2 -t2 |⁢ dx
について考える.
(1) 0≦t ≦1 のとき, F⁡( t) を t の整式として表せ.
(2) t≧0 のとき, F⁡( t) を最小にする t の値 T と F ⁡(T ) の値を求めよ.
2022-10081-0103
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理系は【2】
【3】 a , b を正の実数とし, x⁣y 平面上の直線 l :a⁢x +b⁢y -2=0 を考える.
(1) 直線 l と原点の距離が 2 以上であり,直線 l と直線 x =1 の交点の y 座標が 2 以上であるような点 ( a,b ) のとりうる範囲 D を求め, a⁣b 平面上に図示せよ.
(2) 点 ( a,b) が(1)で求めた範囲 D を動くとする.このとき, 3 ⁢a+2 ⁢b を最大にする a , b の値と, 3⁢a+ 2⁢b の最大値を求めよ.
2022-10081-0104
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【4】 x⁣y⁣ z 空間内の点 O (0, 0,0) , A (1, 2,3 ), B (- 3,0, 1) , C (6 ,-3 ,2 ) を頂点とする四面体 OABC を考える. 3 点 OAB を含む平面からの距離が 1 の点のうち,点 O に最も近く, x 座標が正のものを H とする.
(1) H の座標を求めよ.
(2) 3 点 OAB を含む平面と点 C の距離を求めよ.
(3) 四面体 OABC の体積を求めよ.
2022-10081-0105
理系
【2】 a を実数とし,実数 x の関数 f⁡ (x) =(x 2+3⁢ x+a) ⁢( x+1) 2 を考える.
(1) f⁡( x) の最小値が負となるような a のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) a<2 のとき, f⁡( x) は 2 つの極小値をもつ.このとき, f⁡( x) が極小となる x の値を α 1 , α2 ( α 1<α 2 ) とする. f⁡( α1 )<f ⁡( α2 ) を示せ.
(3) f⁡( x) が x <β において単調減少し,かつ, x=β において最小値をとるとする.このとき, a のとりうる値の範囲を求めよ.
2022-10081-0106
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【3】 正の整数 n に対して,
Sn= ∑ k=1 n (1+ k n2 −1)
とする.
(1) 正の実数 x に対して,次の不等式が成り立つことを示せ.
x 2+x ≦1 +x-1 ≦x 2
(2) 極限値 limn→ ∞S n を求めよ.
2022-10081-0107
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【4】 x⁣y 平面の第 1 象限内において,直線 l :y=m ⁢x ( m>0 ) と x 軸の両方に接している半径 a の円を C とし,円 C の中心を通る直線 y =t⁢x ( t>0 ) を考える.また,直線 l と x 軸,および,円 C のすべてにそれぞれ 1 点で接する円の半径を b とする.ただし, b>a とする.
(1) m を用いて t を表せ.
(2) t を用いて ba を表せ.
(3) 極限値 lim m→+ 0 1m⁢ ( ba- 1) を求めよ.
2022-10081-0108
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF9頁)へ
【5】 座標空間内において,ベクトル
a→ =(1 ,2,1 ), b→ =(1 ,1,- 1), c→ =(0 ,0,1 )
が定める 2 直線
l:s⁢ a→ , l′ :t⁢ b→+ c→ ( s , t は実数)
を考える.点 A 1 を原点 ( 0,0, 0) とし,点 A 1 から直線 l ′ に下ろした垂線を A1 B1 とおく.次に,点 B 1 (t1 ⁢b→ +c→ ) から直線 l に下ろした垂線を B1 A2 とおく.同様に,点 A k (sk ⁢a→ ) から直線 l ′ に下ろした垂線を Ak Bk , 点 B k (tk ⁢b→ +c→ ) から直線 l に下ろした垂線を Bk Ak +1 とする手順を繰り返して,点 An (s n⁢a → ), Bn (t n⁢b →+ c→ ) ( n は正の整数)を定める.
(1) sn を用いて s n+1 を表せ.
(2) 極限値 S =limn →∞ sn , T=lim n→∞ tn を求めよ.
(3) (2)で求めた S , T に対して,点 A , B をそれぞれ A (S⁢ a→ ), B (T⁢ b→+ c→ ) とおくと,直線 AB は 2 直線 l , l′ の両方と直交することを示せ.
2022-10081-0109
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【6】 半径 1 の円を底面とする高さが 3 の直円柱と,半径が r の球を考える.直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき,直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 V ⁡(r ) を求めよ.
文系・理系の学部・学科別
文系 文学部・教育学部・法学部・経済(文系)学部・医学部(保健学科看護学専攻)
理系 経済(理系)・理学部・医学部(医学科,保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)・歯学部・薬学部・工学部・農学部