2022　東北大学　後期MathJax

(1)　直線$l^{\prime }$の方程式を求め，$a$を用いて$s$を表せ．

(2)　放物線$C$と$x$軸，および直線$x=s$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小になる$a$の値と，$S(a)$の最小値を求めよ．

$x^2-(\sqrt{2}\sin \theta )x+k=0$

が解$\cos \alpha \text{，}$$\sin \alpha$をもつとする．

(1)　$\theta$を用いて定数$k$を表せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$\alpha$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$のとき，$\theta$を用いて$\alpha$を表せ．

$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sin \theta }{4}}\text{，}$$g(\theta )={\displaystyle \frac{4\cos \theta -3\sin \theta }{4}}$

で与えられるとき，座標平面内の$2$点$\mathrm{A}$$(3f(\theta ),4f(\theta ))\text{，}$$\mathrm{B}$$(g(\theta ),0)$を考える．原点を$\mathrm{O}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように点$\mathrm{C}$を定める．

(1)　$\theta$を用いて三角形$\mathrm{ABC}$の面積を表せ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(ア)　取り出された$2$個の玉の数字が同じ場合は，それぞれの玉を元の袋に戻す．

(イ)　取り出された$2$個の玉の数字が互いに異なる場合は，$2$個の玉の数字が$1$と$2$のときは$2$の玉が取り出された袋に，$2$と$3$のときは$3$の玉が取り出された袋に，$1$と$3$のときは$1$の玉が取り出された袋に，取り出された玉$2$個を共に入れる．

この操作を$3$回繰り返す．ただし$2$回目の操作は$1$回目の操作後の袋の状態に対して行い，$3$回目の操作は$2$回目の操作後の袋の状態に対して行う．以下の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の操作において，取り出された玉$2$個が共に袋$\mathrm{A}$に入れられる確率を求めよ．

(2)　$3$回の操作が終わったとき，いずれかの袋の中の玉の個数がゼロになる確率を求めよ．

(3)　$3$回の操作が終わったとき，いずれかの袋の中が同じ数字の玉$2$個のみになる確率を求めよ．

(1)　$a$を用いて，直線$l^{\prime }$の方程式と$s$を表せ．

(2)　極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T(a)}{S(a)}}$および$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{T(a)}{S(a)}}$を求めよ．

(＊)　$(2x-k)(x^2+mx+2n)=6$

の整数解について考える．

(1)　$k=21\text{，}$$m=-18\text{，}$$n=37$のとき，方程式(＊)の整数解をすべて求めよ．

(2)　$k-1$が$4$の倍数であるとする．方程式(＊)が相異なる偶数の解をちょうど$2$つもつとき，$k$を用いて$m\text{，}$$n$を表せ．

(1)　${\displaystyle \frac{T}{S}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}}$が成り立つことを示せ．

(2)　直線$l$がどのような直線のとき${\displaystyle \frac{T}{S}}$が最小となるかを答え，${\displaystyle \frac{T}{S}}$の最小値を求めよ．

(1)　円$C$と直線$l$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とするとき，円$C^{\prime }$の円周の長さが線分$\mathrm{AB}$の長さの$2$倍になるような$\alpha$の値がただ$1$つ存在することを示せ．

(2)　$y>0\text{，}$$x>\cos \alpha \text{，}$かつ，円$C$の内部で，円$C^{\prime }$の外側である部分の面積$S$を，$\alpha$を用いて表せ．

(3)　(2)で定義された$S$を最大にする$\alpha$の値を$\beta$$\text{（}0<\beta <\pi \text{）}$とするとき，$\cos \beta$を求めよ．

(1)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$e<t<t+h$$\text{（}e$は自然対数の底）のとき，不等式

$\pi (2t+h)f(t+h)$$\leqq {\displaystyle \frac{V(t+h)-V(t)}{h}}$$\leqq \pi (2t+h)f(t)$

を示せ．

(3)　体積$V(t)$を求めよ．