2022　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　実数を係数とする多項式$P(x)$に対して，$P(i)=0$ならば$P(x)$は$x^2+1$で割り切れることを示せ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　実数を係数とする多項式$P(x)$と$Q(x)$の積$P(x)Q(x)$が$x^2+1$で割り切れるならば，$P(x)$と$Q(x)$の少なくとも一方は$x^2+1$で割り切れることを示せ．

【２】　各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AC}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，以下の問に答えよ．ただし，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$

で表す．

(1)　点$\mathrm{P}$は平面$\mathrm{ODE}$上の点で$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$がこの平面に垂直となるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　(1)で定めた点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{AP}$と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵OBC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と(2)で求めた$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{\log x}}$について次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$について，傾きが${\displaystyle \frac{1}{2}}$である接線の方程式を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の増減，極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{\log x}}=\infty$であることは証明なしに用いてよい．

(3)　$k$を定数とするとき，次の$x$についての方程式

${\displaystyle \frac{2x}{\log x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}x+k$

の異なる実数解の個数を調べよ．

【４】　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，

$a_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}{e}^{-x}{\sin }^{2}x\mathit{dx}$

とおく．次の問に答えよ．

(1)　不定積分

$!={\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos 2x\mathit{dx}\text{，}$$J={\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin 2x\mathit{dx}$

を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log a_k$を求めよ．

【１】　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{7}}$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，

$a_n=7^{n-1}\cdot {\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．次の問に答えよ．

(1)　$\sin \theta$と$\sin 2\theta$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が漸化式

$a_{n+2}=2a_{n+1}-49a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすことを示せ．

(3)　自然数$n$に関する次の命題

「$a_n$と$a_{n+1}$は共に$7$で割り切れない整数である」

が，すべての自然数$n$について成り立つことを示せ．

【３】　$a$を定数とする．関数

$f(x)=x^3-(3a+1)x^2+4ax$

について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減と極値を調べよ．また，関数$f(x)$が極大値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた範囲の$a$について，関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$p$とし，その極大値を$q$とする．$a$が(1)で求めた範囲を変化するとき，$xy$平面上での点$(p,q)$の軌跡$C$を求め，図示せよ．

(3)　(2)で図示した軌跡$C$と直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{8}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　半径$2$の円に内接する$\mathrm{▵ABC}$において，

$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:7:4\sqrt{2}$

であるとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\theta$に関する方程式

$2\cos \theta -2(\sqrt{3}-1)\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$+2-\sqrt{3}=0$

を解け．