2022　山形大学　前期MathJax

【１】　右図のような正方形の区画から構成される道路があり，点$\mathrm{A}$を出発地点とする．「北」，「東」，「その場に留まる」と書かれた$3$枚のカードから無作為に$1$枚を引き，「北」を引いたら北に向かって$1$区画進み，「東」を引いたら東に向かって$1$区画進み，「その場に留まる」を引いたらその場に留まる．ただし，カードの指示通り移動できない場合にはその場に留まるとする．その後，引いたカードはもとに戻す．この操作を繰り返すとき，次の問に答えよ．

(1)　$3$回操作を繰り返したとき，点$\mathrm{B}$にいる確率を求めよ．

(2)　$5$回操作を繰り返したとき，点$\mathrm{C}$を通って点$\mathrm{D}$にいる確率を求めよ．

(3)　$5$回操作を繰り返したとき，点$\mathrm{B}$を通らずに点$\mathrm{D}$にいる確率を求めよ．

(4)　$6$回操作を繰り返したとき，点$\mathrm{D}$にいる確率を求めよ．

(5)　$7$回操作を繰り返したとき，点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のうち$2$つを通って点$\mathrm{E}$にいる確率を求めよ．

【２】　座標平面上の放物線$y=-x^2+(a-4)x+2a-8$を$C$とし，点$(-2,0)$を通る直線$L_1$と放物線$C$が点$\mathrm{P}$で接するとする．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$0$以上であり，$a\ne 4$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$L_1$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$を通り，直線$L_1$に垂直な直線$L_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

(4)　放物線$C$と直線$L_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．

(5)　$a>4$のとき，放物線$C$と直線$L_2$に囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．

【３】　平面上に点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$があり，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{15}$を満たすとする．また，線分$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{H}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$は直交しているとする．さらに，線分$\mathrm{OD}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{DH}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{DP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\mathrm{DP}=3$を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OBC}$の面積を求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

(5)　$\mathrm{DP}:\mathrm{PH}$を求めよ．

【４】　正の整数の$i$乗の和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^i$を$S_i(n)$で表すとき，次の問に答えよ．

(1)　$S_0(22)\text{，}$$S_1(22)\text{，}$$S_2(22)$および$S_3(22)$の値を求めよ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{{(2k+4)}^4-{(2k+2)}^4\}$を$n$について因数分解せよ．

(3)　${(k+1)}^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$であることを用いて，以下の式のア，イ，ウ，エ，オに当てはまる数を求めよ．

$5S_4(n)+1$$=\text{ア}{(n+1)}^5+\text{イ}{S}_3(n)+\text{ウ}{S}_2(n)$$+\text{エ}{S}_1(n)+\text{オ}{S}_0(n)$

(4)　${(k+1)}^6-k^6=6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1$であることを用いて，$S_5(n)$を$n$の多項式で表したときの最高次数の項を求めよ．

(5)　$S_5(n)$はある定数カ，キ，ク，ケ，コに対して，以下の式を満たすことが知られている．このとき，定数カ，キ，ク，ケ，コを求めよ．

$S_5(n)=\text{カ}{\{S_1(n)\}}^5+\text{キ}{\{S_1(n)\}}^4+\text{ク}{\{S_1(n)\}}^3$$+\text{ケ}{\{S_1(n)\}}^2$$+\text{コ}{S}_1(n)$

【５】　関数$f(x)=(x^2+2x-1)e^{-x}$に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$の変曲点を求めよ．

(3)　曲線$C$の接線で原点$\mathrm{O}$を通るものをすべて求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-x}\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{x}^2{e}^{-x}\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　(3)で求めた接線のうち，その接点の$x$座標が最小になるものを$L$とする．曲線$C$と接線$L\text{，}$および$y$軸によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【６】　複素数平面上で，複素数$z$を用いて，$2$つの円$O_1$と$O_2$を，次の式で定義する．

$O_1\text{：}|z+5|=1+2\sqrt{5}$

$O_2\text{：}|z-5|=1$

この$2$つの円に外接する円$O_3$の中心を点$\mathrm{P}(\alpha )$とし，円$O_1$と円$O_3$の接点を$\mathrm{Q}(\beta )$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　複素数$\alpha$の実部が正であることを示せ．

(2)　$2$つの実数$x\text{，}$$y$と虚数単位$i$を用いて複素数$\alpha$を$\alpha =x+yi$と表すとき，$x$を$y$を用いて表せ．

(3)　$t=\tan (\arg (\alpha ))$としたとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

　ただし，$\arg (\alpha )$は複素数$\alpha$の偏角とする．

(4)　複素数$\alpha$を$t$を用いて表せ．

(5)　$\arg (\alpha )={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，複素数$\beta$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{a{x}^2+bx+4}{x^2-x-2}}=2$が成り立つように，定数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$xy$平面上の曲線$y=2x^3-3x^2-12x$と直線$y=a$は$3$個の共有点をもつ．定数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$k$を実数の定数とし，$2$次方程式$z^2-2z+k=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．複素数平面上で$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$が直角三角形の頂点になるように，$k$の値を定めよ．

【２】　$xyz$空間に$4$点$\mathrm{A}$$(0,3,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-3,4,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(-1,2,1)$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(2)　$\sin \mathrm{\angle BCE}$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{BCE}$の面積を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{13a_n+24}{4a_n+17}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義し，数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n-2}{a_n+3}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_1\text{，}$$b_2$の値を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$が等比数列であることを示し，その一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$xy$平面上において，

$x=\sin t\text{，}$$y=\cos t-{\cos }^{2}t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表される曲線$C$について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=0\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときの曲線$C$上の点の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　曲線$C$上で$y$座標が最大になる点の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．