2022　茨城大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=\log x+{(\log x)}^2$とする．以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフと$x$軸との交点，グラフの凹凸，変曲点，極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$および$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{(\log x)}^2\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とする．半径$r_n$の円$O_n$に内接する正$n$角形の周の長さが$2$であるとする．この正$n$角形の面積を$a_n$とし，円$O_n$に外接する正$n$角形の面積を$b_n$とする．ただし，正$n$角形が円に内接するとは，正$n$角形のすべての頂点がその円周上にあることをいう．また，正$n$角形が円に外接するとは，正$n$角形のすべての辺がその円に接することをいう．以下の各問に答えよ．

(1)　$r_n$を求めよ．

(2)　$a_n$を求めよ．

(3)　$b_n$を求めよ．

(4)　$a_8$の値を$p+q\sqrt{2}$の形で表すとき，$p$と$q$を求めよ．ただし，$p$と$q$は有理数とする．

(5)　$k$を整数とする．数列$\{n^k(b_n-a_n)\}$が$0$でない値に収束するように，$k$の値を定めよ．さらに，そのときの極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^k(b_n-a_n)$を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が以下の規則Ⅰと規則Ⅱにより点数を決めるゲームを行う．

規則Ⅰ：$\mathrm{A}$は$1$個のさいころを$1$回投げて，出た目が偶数ならばそれを$2$で割ったときの商を$\mathrm{A}$の点数とし，出た目が奇数ならば$\mathrm{A}$の点数は$0$とする．

規則Ⅱ：$\mathrm{B}$は$1$個のさいころを$1$回投げて，出た目を$3$で割ったときの余りを$\mathrm{B}$の点数とする．

ゲームを行った結果，点数の大きい方を勝者とし，点数が同じ場合は引き分けとする．勝者が決まればそこでゲームは終了とし，引き分けの場合は同じ規則で次の回のゲームを行う．以降，勝者が決まるまでゲームを繰り返す．$1$回のゲームで$\mathrm{A}$が勝者となる確率を$p\text{，}$$\mathrm{B}$が勝者となる確率を$q\text{，}$引き分けとなる確率を$r$とし，ゲームの回数が$n$回以下で，$\mathrm{A}$が勝者となる確率を$P_n\text{，}$$\mathrm{B}$が勝者となる確率を$Q_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を求めよ．

(2)　$P_2$と$Q_2$を求めよ．

(3)　$P_n$と$Q_n$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{Q}_n$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)　次の極限を調べよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos x}{2x-\pi }}$(ⅱ)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4^{x+2}+2^{x-2}}{4^x-2^x}}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^{x^2}}{3x+1}}$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(3)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}\cos 2x\sin x\cos x\mathit{dx}$(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_e^{e^3}}(3x^2+1)\log x\mathit{dx}$

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　$3$つの実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は，$x-2y+3z=5\text{，}$ ${\displaystyle \frac{xy}{3}}+yz-{\displaystyle \frac{zx}{2}}=4$を満たすとする．このとき，$x^2+4y^2+9z^2$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　$i$を虚数単位，$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．$4$次方程式

$x^4-2x^3+a{x}^2+10x+b=0$

が，$x=1-\sqrt{6}i$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　次のデータは，$8$人の生徒に$20$点満点のテストを行った結果である．このデータの中央値と分散を求めよ．

$11\text{，}20\text{，}18\text{，}5\text{，}8\text{，}19\text{，}16\text{，}7$

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　放物線$y=2x^2-8x+7$の焦点の座標を求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$のとき，${\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta$の最小値を求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{3x+7}{x+3}}$について，次の(ⅰ)と(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(ⅱ)　$k$を実数とする．$y=f(x)$のグラフと直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+k$の交点が$2$個となるような$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　$a$を正の定数とする．曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=ax$で囲まれた部分を$S$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$S$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．

(2)　$S$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$W$とする．$W$を$a$を用いて表せ．

(3)　(1)で求めた$V$と(2)で求めた$W$について，$V=W$を満たす$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$4757$と$2059$の最大公約数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　${18}^{50}$は何桁の整数か．また，${\left({\displaystyle \frac{1}{25}}\right)}^{40}$を小数で表すと，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　関数$f(x)=x^3-2x^2+x-1$について，次の各問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$について，極値を求めよ．また，そのグラフをかけ．

(2)　曲線$C\text{：}y=f(x)$について，傾きが$1$である接線の方程式をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた接線のうち，$y$軸との交点の$y$座標が最大のものを$l$とする．$C$と$l$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　座標空間に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標はそれぞれ$(1,-1,0)\text{，}$$(2,1,t)$であり，線分$\mathrm{AC}$を$3:1$に外分する点の座標は$(-2,-4,{\displaystyle \frac{3}{2}})$である．ただし，$t$は実数とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle CAB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を$t$で表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，$i$回目に出る目の数を$a_i$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}$$(a_1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,a_2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-a_3,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-a_4)$をとるとき，次の各問に答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$が直線$y=-x$に関して対称になる確率を求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$がひし形であったとき，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形である条件付き確率を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{OCD}$の面積の和が，三角形$\mathrm{OAD}$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積の和より大きくなる確率を求めよ．