2022　茨城大学　後期MathJax

(1)　$a=1$のとき，関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．

(2)　方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

　以下，$a>0$とする．

(3)　曲線$C$上の点$(0,f(0))$における接線を$l$とする．接線$l$と曲線$C$の共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(4)　(3)で定めた接線$l$と曲線$C$で囲まれた部分のうち，領域$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$にある部分の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．

$k_n(x)={\displaystyle \frac{n-x}{x^2}}$$\text{（}x>0\text{）}$

$f_n(x)=e^{k(x)}-1$$\text{（}x>0\text{）}$

とする．座標平面において，曲線$y=f_n(x)$と$x$軸の交点を${\mathrm{P}}_n$とし，点${\mathrm{P}}_n$における曲線$y=f_n(x)$の接線を$l_n$とする．また，$2$以上の$n$に対して，接線$l_1$と接線$l_n$の交点を${\mathrm{Q}}_n$とし，$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_n$の大きさを${\theta }_n$とする．ただし，$0<{\theta }_n<\pi$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$k_n(x)$の導関数$k_n^{\prime }(x)$と，$f_n(x)$の導関数$f_n^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{Q}}_n$の座標を求めよ．

(3)　三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_n$の面積を$S_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin {\theta }_n$を求めよ．

(1)　直線$\mathrm{OA}$上を動く点$\mathrm{P}$$(t\cos \theta ,t\sin \theta ,0)$がある．ただし，$t$は実数全体を動くものとする．また，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の距離の$2$乗を$f(t)$とする．関数$f(t)$の最小値を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$と$\theta$を用いて表せ．

　以下では，$a^2+b^2\ne 0$かつ$c\ne 0$とし，点$(a,b,0)$を${\mathrm{B}}_0$とする．(1)で求めた関数$f(t)$の最小値を$d(\theta )$とおく．$\theta$が$0\leqq \theta <\pi$の範囲で動くとき，$d(\theta )$の最大値と最小値について考える．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0}$が垂直であるとき，$d(\theta )$は最大値をとることを証明し，その最大値を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(3)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0}$が平行であるとき，$d(\theta )$は最小値をとることを証明し，その最小値を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の両方を利用したのは，$\text{(つ)}$人である．

(2)　$\mathrm{A}$は利用したが，$\mathrm{C}$は利用しなかったのは$\text{(て)}$人である．

(3)　この調査によって，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をすべて利用した人は，少なくとも$\text{(と)}$人以上であることがわかる．あてはまる自然数のうち，最大のものを枠内に記入すること．