2022　茨城大学　後期理(物理学科)学部総合問題MathJax

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}}\text{，}$$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+k}}$

で定義する．

(1)　$b_{n+1}-b_n$を求めよ．

(2)　数学的帰納法を用いて$a_n=b_n$が成り立つことを証明せよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．