2022　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

(1)　曲線$C_n$上の点$(a,f_n(a))$における接線$l_n$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C_n$と$2$つの直線$x=-n\text{，}$$x=n$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　(1)で求めた接線$l_n$と$y$軸との交点の$y$座標を$g_n(a)$とする．次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }(g_n(1)+g_n(2)+\cdots +g_n(n))$

(1)　次の等式を証明せよ．

$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$

ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin \theta <\theta <\tan \theta$であることを証明することなしに用いてよい．

(2)　極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+a^2}-x)$

を求めよ．

(3)　極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2\sin (\sqrt{x^2+a^2}-x)}{\sqrt{a^2{x}^2+x}}}$

を求めよ．

(1)　有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が等式$a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$を満たすとき，$a=c$かつ$b=d$であることを証明せよ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることを証明することなしに用いてよい．

　(1)で証明したことにより，すべての自然数$n$に対して

${(1+2\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$

となる有理数$a_n\text{，}$$b_n$がただ一通りに定まる．

(2)　$a_{n+1}$と$b_{n+1}$をそれぞれ$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，等式

${(1-2\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　$a_n^2-2b_n^2$を求めよ．