2022　筑波技術大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　$3x^2+7y^2-10xy$を因数分解しなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　${1005}^2-{995}^2$を計算しなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　$(1+\sqrt{3}i)(a+bi)=2i$を満たす実数$a\text{，}$$b$を求めなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　次の等式を満たす整数の組$(m,n)$をすべて求めなさい．

$(m+1)(n-1)\mathrm{=}3$

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(5)　以下の(a)〜(d)の説明文のうち，間違っているものをすべて選びなさい．

(a)　命題$\text{「}p$ならば$q\text{」}$が真のとき，

命題$\text{「}q$ならば$p\text{」}$も真である．

(b)　命題$\text{「}p$ならば$q\text{」}$が真のとき，

命題$\text{「}q$でないならば$p$でない」も真である．

(c)　命題$\text{「}p$ならば$q\text{」}$が真のとき，

命題$\text{「}p$でないならば$q$でない」も真である．

(d)　命題$\text{「}p$ならば$q\text{」}$が偽のとき，

命題$\text{「}q$でないならば$p$でない」も偽である．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$がある．$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{BC}=1$であるとき，以下の各問いに答えなさい．

(a)　$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．

(b)　$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　半径$4$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{BC}=5$のとき，$\sin (\mathrm{\angle BAC})$の大きさを求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　次の$3$つの散布図について，以下の各問いに答えなさい．ただし，散布図に対応する相関係数は以下のうちのいずれかである．

$\text{①}0.5$$\text{②}-0.95$$\text{③}0.8$

(a)　散布図に対応する相関係数の番号をそれぞれ答えなさい．

(b)　$3$つの散布図のうちで，最も相関が強いものを選び，その理由について説明しなさい．

【３】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$\mathrm{A}$$(2,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0)$とする．このとき，$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数）について，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフが，点$\mathrm{A}$を頂点とし，点$\mathrm{B}$を通るとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めなさい．

(2)　$a=1\text{，}$$b=-4\text{，}$$c=3$のときを考える．$y=f(x)$の$-1\leqq x\leqq 2$における最大値を求めなさい．

(3)　$a=1\text{，}$$c=4$のときを考える．$y=f(x)$のグラフが，$x$軸と異なる$2$点で交わるとき，$b$の値の範囲を求めなさい．

(4)　$a=2$のときを考える．$y=f(x)$のグラフが，直線$y=-2x+2$と点$\mathrm{C}$で接するとき，$b\text{，}$$c$の値を求めなさい．

(5)　$a=-2\text{，}$$b=6\text{，}$$c=-4$のときを考える．$y=f(x)$のグラフと直線$y=-2x+2$とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

【４】　特殊なさいころを使って，$1$対$1$の対戦ゲームを行う．使用するさいころは，$6$面のうち，$1$の目が$3$面，$2$の目が$2$面，$3$の目が$1$面である．ゲームの最初に，各人は，赤，緑，青の$3$色のさいころを$1$個ずつ，計$3$個所有し，すべてのさいころを使って$3$回の勝負を行う．ただし，一度投げたさいころは使えないものとする．なお，勝負を$1$回行うときのルールは以下の通りである．

(ルール１)　各人が同時に$1$個さいころを投げ，出た目の数が大きいほうが勝ち

(ルール２)　出た目の数が同じときは，さいころの色で以下の通り勝敗が決まる

・赤は緑に勝つ

・緑は青に勝つ

・青は赤に勝つ

(ルール３)　出た目の数もさいころの色も同じときは，引き分け

(1)　$1$回目の勝負で，相手が赤のさいころを投げ$2$の目が出て，自分は赤のさいころを投げた．このとき，この$1$回の勝負で自分が負ける確率を求めなさい．

(2)　$1$回目の勝負で，相手は赤のさいころを投げ$2$の目が出て，自分は青のさいころを投げた．このとき，この$1$回の勝負で自分が勝つ確率を求めなさい．

(3)　$1$回目の勝負で，相手が赤のさいころを投げ，自分は緑のさいころを投げた．このとき，この$1$回の勝負で自分が勝つ確率を求めなさい．

(4)　$1$回目の勝負で，相手が赤のさいころを投げた．このとき，この$1$回の勝負で自分が勝つ確率を求めなさい．

(5)　$1$回目の勝負では，相手が青のさいころを投げ，自分は赤のさいころを投げて負けた．このとき，$3$回の勝負で相手に勝ち越す（勝った回数が負けた回数より多くなる）確率を求めなさい．

【５】　座標平面上において原点$\mathrm{O}\text{，}$$x$軸上の点$\mathrm{A}$$(3,0)\text{，}$$y$軸上の点$\mathrm{B}$$(0,k)$$\text{（}k>0\text{）}$がある．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$k=9$のとき，原点を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式を求めなさい．

(2)　$\mathrm{AB}$の長さが$2\sqrt{3}$となるときの$k$の値を求めなさい．

(3)　$k=4$のとき，$\mathrm{▵OAB}$の外接円の方程式を求めなさい．

(4)　$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AB}$を三等分する点で$\mathrm{A}$に近い方の点を$\mathrm{P}$とする．このときの$\mathrm{OP}$の長さを求めなさい．

(5)　四角形$\mathrm{OADB}$が正方形になるように，点$\mathrm{D}$を与える．また，対角線$\mathrm{AB}$を三等分する点で点$\mathrm{B}$に近い方の点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{▵OAQ}$の外接円と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{▵ORQ}$の面積を求めなさい．