2022　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　平面上の平行四辺形$\mathrm{OACB}$において，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{OA}$の長さが$8\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の長さが$6\text{，}$線分$\mathrm{BM}$の長さが$7\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{BM}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

問３　平行四辺形$\mathrm{OACB}$の面積$S$を求めよ．

問４　平行四辺形$\mathrm{OACB}$の周および内部にある点$\mathrm{P}$が

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\geqq 60$

を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲の面積$T$を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$4$点$\mathrm{P}$$(p,0,0)\text{，}$${\mathrm{P}}^{\prime }$$(-p,0,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,q,0)$および$\mathrm{R}$$(0,q,1)$をとる．ただし，$p>0\text{，}$$q>0$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$1$とする．線分$\mathrm{OQ}$上の点$\mathrm{M}$$(0,t,0)$を通り，$zx$平面に平行な平面と，線分$\mathrm{PQ}\text{，}$${\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{OR}$の共有点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．次の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{AB}$の長さを，$p$および$t$を用いて表せ．

問２　$0<t<q$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を，$p$および$q$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{M}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{Q}$まで動くとき，$\mathrm{▵ABC}$が通過する部分の体積$V$を，$p$の関数として求めよ．

問４　問３の$V$を最大とする$p$と，そのときの$V$の値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の曲線$y=\sqrt{2x-8}$を$C$とし，点$\mathrm{A}$$(0,-1)$を通る傾き$m$の直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

問１　曲線$C$の概形をかけ．

問２　曲線$C$と直線$l$の共有点の個数を求めよ．

問３　曲線$C$と直線$l$が，不等式$y>0$の表す領域内に，異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を持つ場合を考える．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．直線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{▵BRQ}$の面積$S$を，$m$を用いて表せ．

問４　問３で，$\mathrm{▵OAB}$の面積を$T$とする．$S+T$を最大にする$m$とそのときの$S+T$の値を求めよ．