2022　宇都宮大学　共同教育学部数学分野推薦小論文MathJax

2022　宇都宮大学　共同教育学部数学分野推薦小論文

易□　並□　難□

【１】　 $3$ 次関数 $f (x) = x^{3} + (a^{2} - 2 a - 8) x + 2 a^{3} - 9 a^{2} + 15$ について，次の問いに答えよ．ただし， $a$ は定数とする．

問１　方程式 $f^{'} (x) = 0$ が実数解をもつとき，定数 $a$ の値の範囲を求めよ．

問２　定数 $a$ の値は，問１で求めた範囲にあるとする． $f^{'} (x) = 0$ の実数解を $α ，$ $β$ とする（重解の場合は $α = β$ とする）．このとき，和 $f (α) + f (β)$ を $a$ の式で表せ．

問３　問２で求めた和を $g (a)$ で表す． $g (a)$ の増減を調べることにより， $g (a)$ の最大値と最小値を求めよ．

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【２】　平面上の三角形 $OAB$ において，辺 $AB$ の中点を $M ，$ 点 $A$ から直線 $OB$ に下した垂線の交点を $H$ とする． $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき，次の問に答えよ．

問１　 $\vec{OM}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．

問２　次の式を満たす平面上の点 $P$ はどのような図形をえがくか調べよ．

$2 \vec{OP} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) + {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2} = 0$

問３　 $\vec{OH}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．

問４　直線 $OB$ に関して，点 $A$ と対称な点を $C$ とするとき， $\vec{OC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．

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【３】　数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 4 ，$ $a_{2} = 9$ であるような等差数列とし，数列 ${b_{n}}$ を $b_{1} = 3 ，$ $b_{2} = 12$ であるような等比数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　 $n$ を自然数とするとき，和 $S_{n} = a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1}$ を求めよ．

問２　 $n$ を自然数とするとき，和 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{2 n - 1}$ を求めよ．

問３　 $n$ を自然数とするとき， $b_{2 n - 1}$ を $5$ で割ったときの余りが $3$ であることを，数学的帰納法によって証明せよ．

問４　数列 ${a_{n}}$ および数列 ${b_{n}}$ の両方に共通して現れる数があるかどうかを調べよ．

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【４】　都合により非公表