2022　群馬大学　前期MathJax

【１】　$3$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$それぞれに，$1$から$30$までの番号を$1$つずつ書いた$30$枚のカードが入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の袋からカードを$1$枚ずつ取り出す．全部で${30}^3$通りのすべての取り出し方について考える．このとき，取り出した$3$枚のカードの番号を，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$$\text{（}X\leqq Y\leqq Z\text{）}$とする．たとえば，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の袋から，それぞれ$24\text{，}$$16\text{，}$$24$を取り出したとき，$X=16\text{，}$$Y=Z=24$である．

(1)　$Z$が$10$以下となるカードの取り出し方は，${30}^3$通りのうち何通りあるか．

(2)　$Y$が$12$となるカードの取り出し方は，${30}^3$通りのうち何通りあるか．

(3)　$Y$が$12$で，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$が等比数列となるカードの取り出し方は，${30}^3$通りのうち何通りあるか．

【２】　座標平面上で，不等式${\displaystyle \frac{2^{x+1}}{3^{y-1}}}+{\displaystyle \frac{3^{y-1}}{2^x}}\leqq 3$を満たす点$(x,y)$全体の集合を$D$とする．

(1)　点$({\log }_{2}3,{\log }_{3}9)$は$D$に属することを示せ．

(2)　不等式$t-3+{\displaystyle \frac{2}{t}}\leqq 0$を満たす正の実数$t$の範囲を求めよ．

(3)　$D$を図示せよ．

【３】　座標空間の$6$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(2,0,2)\text{，}$$\mathrm{E}$$(0,2,2)$を頂点とする三角柱$\mathrm{OAB‐CDE}$がある．この三角柱の辺$\mathrm{OC}$上の動点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{\angle OBP}=\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 45\mathrm{°}\text{）}$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面で三角柱を切ったとき，切り口の図形の面積を$S(\theta )$とする．

(1)　$S(45\mathrm{°})$を求めよ．

(2)　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，$S(\theta )$を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．座標平面において，$y=x^3+a{x}^2+2bx$で表される曲線を$C$とする．点$\mathrm{A}$$(1,-6)$は$C$上にあり，点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l$とするとき，$l$の傾きは$-5$である．$f(x)=x^3+a{x}^2+2bx$とおき，$l$の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)　$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　$f(x)-g(x)$を因数分解せよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-2}^0}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【５】　複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$1$の円上を動くとき，$w=2-iz$で表される点$w$の描く図形を$C$とする．また，$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}$とする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$a=\cos \alpha +i\sin \alpha \text{，}$$b=\cos \beta +i\sin \beta$を満たす実数$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0\leqq \alpha <2\pi \text{，}$$0\leqq \beta <2\pi$とする．

(2)　$C$を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$a^n=2-i{b}^n$を満たす自然数$n$のうち，最小のものを求めよ．

【５】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，$x$軸と$2$点$(-3,0)\text{，}$$(1,0)$で交わり，頂点の$y$座標は$4$である．$2$次関数$y=g(x)$のグラフは，$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$2$だけ平行移動したものである．$r$を$0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす定数とするとき，$R(t)=(1-r){\displaystyle {\int }_{-1}^t}g(x)\mathit{dx}+r{\displaystyle {\int }_t^1}f(x)\mathit{dx}$$\text{（}-1<t<1\text{）}$とおく．

(1)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(2)　$t$の関数$R(t)$の導関数$R^{\prime }(t)$を求めよ．

(3)　$s={\displaystyle \frac{1}{1-2r}}$とおく．$R(t)$が極値をとるときの$t$を$s$を用いて表せ．

【１】　$3$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$それぞれに，$1$から$30$までの番号を$1$つずつ書いた$30$枚のカードが入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の袋からカードを$1$枚ずつ取り出す．全部で${30}^3$通りのすべての取り出し方について考える．このとき，取り出した$3$枚のカードの番号を，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$$\text{（}X\leqq Y\leqq Z\text{）}$とする．たとえば，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の袋から，それぞれ$24\text{，}$$16\text{，}$$24$を取り出したとき，$X=16\text{，}$$Y=Z=24$である．

(1)　$Y$が$12$となるカードの取り出し方は，${30}^3$通りのうち何通りあるか．

(2)　$Y$が$12$で，$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$が等比数列となるカードの取り出し方は，${30}^3$通りのうち何通りあるか．

(3)　$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$が，公差が$0$ではない等差数列となるカードの取り出し方は，${30}^3$通りのうち何通りあるか．

【２】　座標平面上で，不等式${\displaystyle \frac{2^{x+2}}{3^{y-2}}}+{\displaystyle \frac{3^y}{2^{x-1}}}\leqq 18$を満たす点$(x,y)$全体の集合を$D$とする．

(1)　点$({\log }_{5}3,{\log }_{5}10)$は$D$に属することを示せ．

(2)　$D$を図示せよ．

【３】　空間内に$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CA}=5$を満たす定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と，$\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=6$を満たし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面上にはない動点$\mathrm{P}$がある．線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{▵PBC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．

(1)　線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle MNO}$が直角になるときの$\cos \mathrm{\angle PMN}$の値を求めよ．

(3)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る球の半径の最小値を求めよ．

【４】　曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$C$とし，直線$y=1-x$を$l$とする．

(1)　$C$上の点$(x,y)$と$l$の距離を$f(x)$とするとき，$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた部分を$l$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【５】　複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$1$の円上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{4z+5}{z+2}}$で表される点$w$の描く図形を$C$とする．また，$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}$とする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$a^n=b^n$を満たす自然数$n$のうち，最小のものを求めよ．

(2)　$C$を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$a^n={\displaystyle \frac{4b^n+5}{b^n+2}}$を満たす自然数$n$のうち，最小のものを求めよ．