2022　群馬大学　推薦共同教育学部小論文MathJax

【１】　自然数$n$に対して，関数

$f_n(x)=e^{\frac{x}{10}}-1-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\left({\displaystyle \frac{x}{10}}\right)}^k$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，$f_1(x)>0\text{，}$すなわち，$e^{\frac{x}{10}}-1-{\displaystyle \frac{x}{10}}>0$であることを示せ．

(2)　$f_{n+1}^{\prime }(x)$を$f_n(x)$を用いて表せ．

(3)　すべての自然数$n$および$x>0$を満たすすべての実数$x$に対して$f_n(x)>0$が成り立つことを示せ．

(4)　$e^{\frac{1}{5}}>1.221$が成り立つことを示せ．

【２】　$xyz$空間に球$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2\leqq 1$と平面$L\text{：}x+y+z=a$がある．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)　球$S$と平面$L$が交わる（接する場合も含む）ための$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)の範囲にあるとする．球$S$を平面$L$で切り$2$つの立体に分けたとき，体積が大きい方の立体の体積$V$を求めよ．

【３】　原点を中心とする半径$2$の円を$C$とし，円$C$に点$\mathrm{A}$$(2,0)$で外側から接する半径$1$の円を$D$とする．また，円$D$上に固定された点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$は最初は点$\mathrm{A}$に重なっており，円$D$が円$C$の周りを接したまま，すべらずに反時計回りに動くとき点$\mathrm{P}$が描く曲線を$E$とする．ただし，「すべらずに反時計回りに動く」とは，右図のように$2$つの円の接点$\mathrm{Q}$に対し，円$C$上の孤$\mathrm{AQ}$と円$D$上の孤$\mathrm{PQ}$の長さが等しい状態を保ちながら円$D$が動くことを意味する．

(1)　曲線$E$が点$(0,4)\text{，}$点$(-2,0)$を通ることを説明せよ．

(2)　曲線$E$の$x$軸より上の部分が，円弧（円周の一部）ではないことを示せ．