2022　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$とする．$t\geqq -3$とし，$S(t)={\displaystyle {\int }_{-3}^t}|f(x)|\mathit{dx}$とする．次の各問いに答えよ．

(1)　$2$次不等式$f(x)<0$を解け．

(2)　$S(-2)\text{，}$$S(1)$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$t$の関数$S(t)$を求めよ．

【２】　白玉$1$個，黒玉$2$個，赤玉$3$個が入った袋がある．この袋から玉を$1$個ずつ取り出す操作をくり返す．ただし，取り出した玉は袋に戻さない．次の各問いに答えよ．

(1)　すべての玉が袋からなくなるまで操作をくり返すものとする．最後に取り出した玉が白玉であるとき，$1$個目と$2$個目に取り出した玉がどちらも赤玉である確率を求めよ．

(2)　いずれかの色の玉が袋からなくなるまで操作をくり返すものとする．最後に取り出した玉が白玉，黒玉，赤玉である確率をそれぞれ求めよ．

【３】　$n$を$6$以上の整数，$a$を$n<a<n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$をみたす実数とする．放物線$y=ax-x^2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とおき，この部分に含まれ，境界線上にない格子点の個数を$m$とする．ただし，格子点とは$x$座標および$y$座標がともに整数である点のことである．次の各問いに答えよ．

(1)　$S$を$a$を用いて表せ．

(2)　$m$を$n$を用いて表せ．

(3)　不等式$m+1<S<m+n-1$が成り立つことを証明せよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$をとる．

${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{CE}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

が成り立ち，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}\text{，}$$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}\text{，}$$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{．}$$\mathrm{R}$とする．次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵DEF}$の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の何倍になるか求めよ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の何倍になるか求めよ．