2022　埼玉大学　前期（理,工学部）MathJax

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，$k$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle ORM}=\theta$とする．$\cos \theta$を求めよ．

[A]　$1$の目が出たとき，一の位の数字と十の位の数字を入れ換える．

[B]　$2$の目が出たとき，一の位の数字と百の位の数字を入れ換える．

[C]　$3$の目が出たとき，十の位の数字と百の位の数字を入れ換える．

[D]　$4$または$5$または$6$の目が出たとき，何もしない．

最初の$3$桁の数を$123$とし，さいころを続けて$n$回投げたとき，$3$桁の数が$123$である確率を$p_n\text{，}$$231$と$312$のいずれかである確率を$q_n\text{，}$$213$と$321$と$132$のいずれかである確率を$r_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}$$q_1\text{，}$$r_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_2\text{，}$$r_2$を求めよ．

(2)　次の等式を満たす定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e\text{，}$$f\text{，}$$g$を一組求めよ．

(3)　$r_n$を求めよ．

(4)　$p_n\text{，}$$q_n$を求めよ．

$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1$

$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2$

を考える．直線$l$は傾きが正であり，$C_1$と$C_2$とそれぞれ点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$で接しているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(2)　$t>0$とする．$C_2$上の点$(t.{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^2)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．またその接線と原点との距離を$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　$l$の方程式を$y=ax+b$とし，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1$とする．次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．

$\{\begin{array}{l}0\leqq x\leqq x_1\\ y\geqq ax+b\\ 0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2\\ x^2+y^2\geqq 1\end{array}$

$f(x)=\sqrt{x}\sin (\log x)$$\text{（}x>0\text{）}$

$g(x)=\sqrt{x}\cos (\log x)$$\text{（}x>0\text{）}$

を考える．$f(x)=0$かつ$0<x\leqq 1$を満たす$x$の値を大きい方から順に$c_1\text{，}$$c_2\text{，}$$c_3\text{，}\cdots$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$c_n$を求めよ．

(2)　${\{axf(x)+bxg(x)\}}^{\prime }=f(x)$となるように定数$a\text{，}$$b$を定めよ．

(3)　$c_{n+1}\leqq x\leqq c_n$において，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{c_n}^1}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．