2022　埼玉大学　後期（理，工学部）MathJax

(1)　$w^6=1$を満たす複素数$w$をすべて求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}=\cos \theta +i\sin \theta$$\text{（}-\pi <\theta <\pi \text{）}$のとき，$z=(\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}})i$であることを示せ．

(3)　${\left({\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}\right)}^6=1$を満たす複素数$z$をすべて求めよ．

(1)　$S_1$と$S_2$を求めよ．

(2)　$S_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(4)　$T_n=3-{\displaystyle \frac{1}{S_n}}$とおく．${\displaystyle \frac{1}{T_n}}$は整数であることを示せ．

$f(x)=a{e}^{2x}-(a^2+1)e^x+a$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値をすべて求めよ．

(2)　$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を求めよ．またそのときの極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$S(a)$は$a>1$の範囲で$a$の値が大きくなるにつれて増加することを示せ．

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{3n}(x+1)}{x^3+1}}\mathit{dx}$$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}$とおいて$I_0={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x^2-x+1}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(2)　$I_{n+1}+I_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(-1)}^k{\displaystyle \frac{6k+3}{(3k+2)(3k+1)}}$を求めよ．