2022　千葉大学　前期MathJax

【１】　円周を$12$等分するように点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{12}$が時計回りに並んでいる．また，白球$2$個と黒球$4$個が入った袋がある．点$\mathrm{P}$を，次の操作によって$12$個の点上を移動させる．

操作：袋から球を一つ取り出した後にサイコロを投げる．白球ならば時計回りに，黒球ならば反時計回りに，サイコロの目の数だけ$\mathrm{P}$を移動させる．取り出した球は袋に戻さないこととする．

　$\mathrm{P}$を最初に点${\mathrm{A}}_1$に置く．操作を$1$回行い，$\mathrm{P}$が${\mathrm{A}}_1$から移動した点を$\mathrm{Q}$とおく．続けて操作を$1$回行い，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$から移動した点を$\mathrm{R}$とおく．もう一度操作を行い，$\mathrm{P}$が$\mathrm{R}$から移動した点を$\mathrm{S}$とおく．

(1)　$\mathrm{R}={\mathrm{A}}_1$となる確率を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$を結んでできる図形が正三角形となる確率を求めよ．

【２】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$$(1,0)$と点$\mathrm{B}$$(0,1)$がある．$0<t<1$に対し，線分$\mathrm{BO}\text{，}$$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}$のそれぞれを$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{▵PQR}$の面積を$t$の式で表せ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$が二等辺三角形になるときの$t$の値をすべて求めよ．

(3)　$\theta =\mathrm{\angle RPQ}$とする．(2)のそれぞれの場合に$\cos \theta$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を実数とする．$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフの交点の個数が最大となる$a$の範囲を求めよ．

(2)　$0\leqq a\leqq 2$とする．$S(a)$を$y=ax$のグラフと$y=x|x-2|$のグラフで囲まれる図形の面積とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．

(3)　(2)で求めた$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　$0$以上$9999$以下の整数を$4$桁で表示し，以下の操作を行うこととする．ただし，$4$桁で表示するとは，整数が$100$以上$999$以下の場合は千の位の数字を$0\text{，}$$10$以上$99$以下の場合は千の位と百の位の数字を$0\text{，}$$1$以上$9$以下の場合は千の位と百の位と十の位の数字を$0\text{，}$そして$0$はどの位の数字も$0$とすることである．

操作：千の位の数字と十の位の数字を入れ替える．さらに，百の位の数字と一の位の数字を入れ替える．

　また，整数$L$に対し，操作によって得られた整数を$\bar{L}$と表す．

(1)　$M$を$0$以上$9999$以下の整数とし，$M=100x+y$のように整数$x\text{，}$$y$$\text{（}0\leqq x\leqq 99\text{，}$$0\leqq y\leqq 99\text{）}$を用いて表す．操作によって得られた$\bar{M}$が$M$の${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍に$3$を足した数に等しいならば，$-197x+298y=9$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$N$が$0$以上$9999$以下の整数ならば，操作によって得られた整数$\bar{N}$は$N$の${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍に$1$を足した数と等しくならないことを証明せよ．

【５】　$n$を自然数とする．$n$個のサイコロを同時に投げ，出た目の積を$M$とおく．

(1)　$M$が$2$でも$3$でも割り切れない確率を求めよ．

(2)　$M$が$2$で割り切れるが，$3$でも$4$でも割り切れない確率を求めよ．

(3)　$M$が$4$では割り切れるが，$3$では割り切れない確率を求めよ．

【６】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$$(1,0,-1)$と点$\mathrm{B}$$(0,5,0)$がある．実数$t$を用いて$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される点全体を$l$とする．また，$xy$平面上の$y=x^2$を満たす点全体からなる曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,a^2,0)$を固定する．$l$上の点$\mathrm{Q}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直であるようにとる．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{R}$と$l$上の点$\mathrm{S}$のうち，$\left|\overrightarrow{\mathrm{RS}}\right|$を最小にする点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{S}$の組み合わせをすべて求めよ．また，そのときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{RS}}\right|$の値を求めよ．

【７】　$x\text{，}$$y$についての方程式

$x^2-6xy+y^2=9$$\cdots$(＊)

に関する次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}$$y$がともに正の整数であるような(＊)の解のうち，$y$が最小であるものを求めよ．

(2)　数列$a_1,a_2,a_3,\cdots$が漸化式

$a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．このとき，$(x,y)=(a_{n+1},a_n)$が(＊)を満たすならば，$(x,y)=(a_{n+2},a_{n+1})$も(＊)を満たすことを示せ．

(3)　(＊)の整数解$(x,y)$は無数に存在することを示せ．

【８】　正の整数$m\text{，}$$n$に対して，

$A(m,n)=(m+1)n^{m+1}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{n}}}{x}^m{e}^{-x}\mathit{dx}$

とおく．

(1)　$e^{-\frac{1}{n}}\leqq A(m,n)\leqq 1$を証明せよ．

(2)　各$m$に対して，$b_m=\underset{n\to \infty }{\lim }A(m,n)$を求めよ．

(3)　各$n$に対して，$c_n=\underset{m\to \infty }{\lim }A(m,n)$を求めよ．

【９】　$r$を正の実数とし，関数

$f(x)=x+{\displaystyle \frac{r}{\sqrt{1+{\sin }^{2}x}}}$

を考える．

(1)　$r=1$のとき，$f(x)$はつねに増加することを示せ．

(2)　次の条件を満たす最大の正の実数$c$を求めよ．

条件：$0<r<c$のときは$f(x)$がつねに増加する．

志望別問題選択一覧

数学I,II,A,B

　国際教養,文(行動科学コース),法政経,教育(小学,中学国語社会理科技術,小中専門教科,英語,特別支援,乳幼児),園芸(食料資源経済学科)学部,先進科学プログラム(化学,生物,植物生命科,人間科学)

　　【１】,【２】,【３】

数学I,II,III,A,B

教育(中学数学)学部

　【３】,【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(物理,化学,生物,地球科学科),工,園芸(園芸,応用生命化,緑地環境学科),薬学部,先進科学プログラム(物理,工学)

　【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(数学・情報数理学科)学部

【４】,【５】, 【６】,【７】,【８】,【９】

医学部

【５】,【６】,【７】,【８】,【９】