2022　千葉大学　先進科学プログラム方式IMathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)>-2$を解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　複素数$z$に対して方程式$z^6=\mathrm{-}8$を解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2k+1)(k-1)$を$n$の式で求め，それを因数分解した形で答えなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$\pi \leqq x<2\pi$のとき，方程式$3\sin 3x+4\cos 2x+1=0$を解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(5)　$2^{49}$と$5^{21}$のどちらが大きいか答えなさい．

【２】　$y={\displaystyle \frac{4-3x}{x^2+1}}$の極値を求め，グラフの概形を描きなさい．グラフには切片や極値を書き込むこと．但し，グラフの凹凸については問わない．

【３】　$1$辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の中心を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　四面体$\mathrm{OBCD}$の体積を求めなさい．

(2)　内接する球の半径を求めなさい．

【４】　点$\mathrm{A}$$(-2,1,5)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{n}=(1,-2,0)$に垂直な平面の方程式を求めなさい．

【５】　$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n^2+n}-n)$を求めなさい．

【６】　平面上に$n$本の直線がある．これらの直線はどの$2$本も平行ではなく，また，どの$3$本も$1$点では交わらない．これら$n$本の直線によって平面が$a_n$個に分割される．$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

【７】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人でゲームをし，勝者を決める．$1$回のゲームにつき勝者は$1$人とし，引き分けはないものとする．$3$人がゲームに勝つ確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．先に$2$回ゲームに勝った者を優勝者とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$3$回目のゲームで$\mathrm{A}$が優勝者となる確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{A}$が優勝者となる確率を求めなさい．

【８】　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^1}{(e^x+ax)}^2\mathit{dx}$を最小にする定数$a$の値を求め，そのときの$I$の最小値を求めなさい．