2022　東京大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とする．座標平面上の放物線$y=x^2+ax+b$を$C$とおく．$C$は，原点で垂直に交わる$2$本の接線$l_1\text{，}$$l_2$を持つとする．ただし，$C$と$l_1$の接点${\mathrm{P}}_1$の$x$座標は，$C$と$l_2$の接点${\mathrm{P}}_2$の$x$座標より小さいとする．

(1)　$b$を$a$で表せ．また$a$の値はすべての実数をとりうることを示せ．

(2)　$i=1\text{，}$$2$に対し，円$D_{;}$を，放物線$C$の軸上に中心を持ち，点${\mathrm{P}}_i$で$l_i$と接するものと定める．$D_2$の半径が$D_1$の半径の$2$倍となるとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$y=x^3-x$により定まる座標平面上の曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$$(\alpha ,{\alpha }^3-\alpha )$を通り，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線を$l$とする．$C$と$l$は相異なる$3$点で交わるとする．

(1)　$\alpha$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$C$と$l$の点$\mathrm{P}$以外の$2$つの交点の$x$座標を$\beta \text{，}$$\gamma$とする．ただし$\beta <\gamma$とする．${\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1\ne 0$となることを示せ．

(3)　(2)の$\beta \text{，}$$\gamma$を用いて，

$u=4{\alpha }^3+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2-1}}$

と定める．このとき，$u$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=a_n^2+n(n+2)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{2022}$を$3$で割った余りを求めよ．

(2)　$a_{2022}\text{，}$$a_{2023}\text{，}$$a_{2024}$の最大公約数を求めよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で考える．$0$以上の整数$k$に対して，ベクトル$\overrightarrow{v_k}$を

$\overrightarrow{v_k}=(\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{3}})$

と定める．投げたとき表と裏がどちらも${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出るコインを$N$回投げて，座標平面上に点${\mathrm{X}}_0\text{，}$${\mathrm{X}}_1\text{，}$${\mathrm{X}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{X}}_N$を以下の規則(ⅰ)，(ⅱ)に従って定める．

(1)　$N=5$とする．${\mathrm{X}}_5$が$\mathrm{O}$にある確率を求めよ．

(2)　$N=98$とする．${\mathrm{X}}_{98}$が$\mathrm{O}$にあり，かつ，表が$90$回，裏が$8$回出る確率を求めよ．

【１】　次の関数$f(x)$を考える．

$f(x)=(\cos x)\log (\cos x)-\cos x$$+{\displaystyle {\int }_0^x}(\cos t)\log (\cos t)\mathit{dt}$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

(1)　$f(x)$は区間$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において最小値を持つことを示せ．

(2)　$f(x)$の区間$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最小値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n^2+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　正の整数$n$が$3$の倍数のとき，$a_n$は$5$の倍数となることを示せ．

(2)　$k\text{，}$$n$を正の整数とする．$a_n$が$a_k$の倍数となるための必要十分条件を$k\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$a_{2022}$と${(a_{8091})}^2$の最大公約数を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で考える．座標平面上の$2$点$\mathrm{S}$$(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{T}$$(x_2,y_2)$に対し，点$\mathrm{S}$が点$\mathrm{T}$から十分離れているとは，

$|x_1-x_2|\geqq 1$または$|y_1-y_2|\geqq 1$

が成り立つことと定義する．

　不等式

$0\leqq x\leqq 3\text{，}$$0\leqq y\leqq 3$

が表す正方形の領域を$D$とし，その$2$つの頂点$\mathrm{A}$$(3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,3)$を考える．さらに，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たす点$\mathrm{P}$をとる．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$は領域$D$の点であり，かつ，放物線$\mathrm{.y}=x^2$上にある．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$は，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれからも十分離れている．

　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とする．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　次の条件(ⅲ)，(ⅳ)をともに満たす点$\mathrm{Q}$が存在しうる範囲の面積$f(a)$を求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{Q}$は領域$D$の点である．

(ⅳ)　点$\mathrm{Q}$は，$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$のいずれからも十分離れている．

(3)　$a$は(1)で求めた範囲を動くとする．(2)の$f(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　座標平面上の曲線

$C\text{：}y=x^3-x$

を考える．

(1)　座標平面上のすべての点$\mathrm{P}$が次の条件(ⅰ)を満たすことを示せ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$を通る直線$l$で，曲線$C$と相異なる$3$点で交わるものが存在する．

(2)　次の条件(ⅱ)を満たす点$\mathrm{P}$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$を通る直線$l$で，曲線$C$と相異なる$3$点で交わり，かつ，直線$l$と曲線$C$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるものが存在する．

【５】　座標空間内の点$\mathrm{A}$$(0,0,2)$と点$\mathrm{B}$$(1,0,1)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$z$軸のまわりに$1$回転させて得られる曲面を$S$とする．$S$上の点$\mathrm{P}$と$xy$平面上の点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{PQ}=2$を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$が通過しうる範囲を$K$とする．$K$の体積を求めよ．

【６】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で考える．$0$以上の整数$k$に対して，ベクトル$\overrightarrow{v_k}$を

$\overrightarrow{v_k}=(\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{3}})$

と定める．投げたとき表と裏がどちらも${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出るコインを$N$回投げて，座標平面上に点${\mathrm{X}}_0\text{，}$${\mathrm{X}}_1\text{，}$${\mathrm{X}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{X}}_N$を以下の規則(ⅰ)，(ⅱ)に従って定める．

(1)　$N=8$とする．${\mathrm{X}}_8$が$\mathrm{O}$にある確率を求めよ．

(2)　$N=200$とする．$X_{200}$が$\mathrm{O}$にあり，かつ，合計$200$回のコイン投げで表がちょうど$r$回出る確率を$p_r$とおく．ただし$0\leqq r\leqq 200$である．$p_r$を求めよ．また$p_r$が最大となる$r$の値を求めよ．