2022　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の点$\mathrm{P}$から放物線$C\text{：}y=x^2$へ異なる$2$本の接線を引くことができるとき，接点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．このとき，直線$\mathrm{QR}$と放物線$C$で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{4}{3}}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して，$f_n(x)=2x^{2n}+2x+1$とおく．$f_n(x)$を$x^3+x^2+x+1$で割ったときの余りを$r_n(x)$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)　$r_n(x)$を求めよ．

(2)　実数$t$に対して，不等式

$|z-(t+1+i)|\geqq |z-(t-1+i)|$

を満たす複素数$z$の集合を$A$とおく．ただし，$i$を虚数単位とする．すべての自然数$n$に対して，$r_n(x)=0$の解のすべてが集合$A$に属するような$t$の最小値を求めよ．

【３】　下の問いに答えよ．

(1)　正の定数$a\text{，}$$b$に対して，不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x(ax+b)}}$を求めよ．

(2)　関数$f(t)$を

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{4+(t^4-2t^2+4)e^x}}$

により定義するとき，$-1\leqq t\leqq 2$における$f(t)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　放物線$z=x^2$を$z$軸のまわりに$1$回転させてできる図形と，平面$2x-z+1=0$で囲まれた立体を$D$とする．ただし，平面$2x-z+1=0$は点$(0,0,1)$を通り，ベクトル$(2,0,-1)$に垂直な平面である．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　実数$t$に対して，立体$D$を平面$y=t$で切断したときの断面積$S(t)$を求めよ．

(2)　立体$D$の体積を求めよ．