2022　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　実数$a$は$\left|a\right|<1$をみたすとする．区間$\pi <x<2\pi$で定義された$x$の関数

$f(x)=\cos 3x-(2a+1)\cos 2x+(2a$$+3)\cos x$$-(2a+1)$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f\left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)$の値を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$t=\cos x$とおく．このとき，$f(x)$を$t$の整式で表せ．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の個数が$2$個となるような$a$の値をすべて求めよ．

　以下では$a$の値は(ⅲ)で求めた値のうち最大のものとし，そのときの$f(x)$について考える．

(ⅳ)　関数$f(x)$が$x=\beta$で極大になるとき，$\cos \beta$の値を求めよ．

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^{-x}$$\text{（}x>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．ただし，以下では$\log$は自然対数を表す．

(ⅰ)　関数$y=\sqrt{x}\log x$$\text{（}0<x\leqq 1\text{）}$の値域を求めよ．

(ⅱ)　必要なら(ⅰ)の結果を用いて，極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$と$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$と${\displaystyle \frac{f^{″}(x)}{f(x)}}$を求めよ．

(ⅳ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅴ)　実数$a\text{，}$$b$$\text{（}0<a<b\text{）}$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_a^b}(1+\log x)x^{-x}\mathit{dx}$を求めよ．さらに，自然数$n\text{，}$$m$$\text{（}n<m\text{）}$に対して，不等式

${\displaystyle \sum _{k=n+1}^m}{k}^{-k}<{\displaystyle \frac{n^{-n}-m^{-m}}{1+\log n}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=12\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{(3^{n+1}+1)a_n-3^{n+3}}{3^{n-1}{a}_n-(3^{n+1}-1)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n$を自然数とする．不等式$a_n-9>0$を数学的帰納法によって証明せよ．

(ⅱ)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{3}{a_n-9}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．$b_{n+1}-b_n$を求めよ．

(ⅲ)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅳ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅴ)　極限値$\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．さらに，極限値$\beta =\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_1{a}_2{a}_3\cdots a_n}{{\alpha }^n}}$を求めよ．

【４】　正四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$を考える．底面$\mathrm{ABCD}$は一辺の長さが$2$の正方形で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$である．$\mathrm{O}$から底面に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とし，線分$\mathrm{OH}$の長さを$h$とする．さらに，正四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$の$8$本の辺すべてと接する球$S$を考える．球$S$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{P}\text{，}$$S$と辺$\mathrm{OA}$の接点を$\mathrm{Q}\text{，}$$S$の中心を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{OA}$の長さを$h$の式で表せ．さらに，球$S$を平面$\mathrm{OAB}$で切ったとき，断面として現れる円の半径を$r(h)$とする．$r(h)$を$h$の式で表せ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{AP}$および線分$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　球$S$の半径$R(h)$を$h$の式で表せ．さらに，$R(h)$が最小となる$h$の値$h_0$を求めよ．

(ⅳ)　以下では$R(h)=\sqrt{2}$となるときを考える．

(ア)　$h$の値を求めよ．さらに$\mathrm{K}$から面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{KM}$とする．線分$\mathrm{KM}$の長さを求めよ．

(イ)　球$S$を平面$\mathrm{ABCD}$で$2$つに分けたとき，$\mathrm{K}$を含まない方を$S^{\prime }$とする．$S^{\prime }$のうち正四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$に含まれない部分の体積$V$を求めよ．