2022　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)={\displaystyle \frac{1-t\sin x}{\cos x}}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

と定める．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　極限$\underset{x\to \frac{\pi }{2}-0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の最小値$m$を$t$の式で表せ．

　曲線$C\text{：}y=f(x)$と直線$L\text{：}y=1$の共有点のうち，$x$座標が最大の点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\theta$とする．

(ⅳ)　$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$を$t$の分数式で表せ．

(ⅴ)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\theta }}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}$は，$t$の整式$p(t)\text{，}$$q(t)$を用いて

$I=p(t)+q(t)\theta$

と表される．$p(t)\text{，}$$q(t)$を求めよ．

(ⅵ)　曲線$C$と直線$L$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(t)$とする．極限$\underset{t\to 1-0}{\lim }V(t)$を求めよ．

　まず，$f(x)$の性質を調べる準備として次の$2$つの小問を考える．

(ⅰ)　$n$を自然数とする．$t$の関数$s=t^n{e}^{-t}$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$の値域を求め，それを用いて$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^{n-1}{e}^{-t}=0$を示せ．

(ⅱ)　$t\geqq 0$のとき，不等式$1-t\leqq e^{-t}\leqq 1-t+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}$を示せ，

　次に，必要なら上の結果を用いて，$f(x)$の性質を調べる．

(ⅲ)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅳ)　極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to +0}{\lim }{f}^{\prime }(x)\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．さらに，(ⅲ)と(ⅳ)の結果をふまえて，この曲線の概形を描け．

(ⅵ)　(ⅳ)で求めた極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を$a$とし，自然数$n\geqq 2$に対して，曲線$y=f(x)$と$3$直線$x=1\text{，}$$x=n\text{，}$$y=a$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$n\to \infty$のとき，$S_n$の収束，発散について調べよ．

(ⅰ)　直線$l_{\mathrm{P}}$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　直線$l_{\mathrm{P}}$が点$\mathrm{B}$$(a,b)$を通るとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a$の式で表せ．

(ⅲ)　$l_{\mathrm{P}}$が点$(1,1)$を通るような$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

(ⅳ)　領域$D$を表す不等式を求めよ．

(ⅴ)　円$C$で囲まれた領域$x^2+y^2\leqq 4$と領域$D$の共通部分の面積$S$を求めよ．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0\leqq ⟨x⟩<{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{のとき})\\ 1& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq ⟨x⟩<1\text{のとき})\end{array}$

で定める．例えば，$[\sqrt{2}]=1\text{，}$$⟨\sqrt{2}⟩=\sqrt{2}-1<{\displaystyle \frac{1}{2}}$より$f(\sqrt{2})=0$である．この関数$f(x)$を用いて数列$\{a_n\}$を

$a_n=f\left({\displaystyle \frac{3\cdot 2^{n-1}}{7}}\right)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(ⅱ)　$a_{1+p}=a_1$かつ$a_{2+p}=a_2$を満たす最小の自然数$p$を求めよ．さらに，すべての自然数$n$に対して$a_{n+p}=a_n$が成り立つことを示せ．

　自然数$n$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{2^k}}$とおく．また，$p$を(ⅱ)で求めた値とする．

(ⅲ)　$n=pm$$\text{（}m$は自然数）のときの$S_n$の値$S_{pm}={\displaystyle \sum _{k=1}^{pm}}{\displaystyle \frac{a_k}{2^k}}$を$m$の式で表せ，

(ⅳ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

　自然数$n$に対して$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_{k+2}\cdot a_{k^2}}{2^k}}$とおく．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．